Leibniz 4.4.1 Preferencias altruistas: cálculo de la distribución óptima

Anil ha ganado la lotería y debe decidir qué hacer con sus 10 000 rupias. Tiene preferencias altruistas: aunque está contento por recibir el dinero, también se preocupa por su vecino Bala, que no ganó nada. Se puede usar la técnica de optimización restringida para hacer un modelo de su decisión.

En el Leibniz 3.5.1 utilizamos la optimización restringida para resolver el problema de Alexei: elegir sus horas diarias de ocio $t$ y su nota de examen $y$ para maximizar su utilidad $U(t,\ y)$, sujeto a lo que era factible, dada su función de producción de la nota del examen. El problema de Alexei puede expresarse como:

$$\text{elegir } t \text{ y } y \text{ para maximizar } U(t,\ y) \text{ sujeto a la restricción } y=f(24- t)$$

donde $f$ es su función de producción.

En el punto óptimo de Alexei, la tasa a la que es capaz de intercambiar horas de ocio por puntos en la calificación del examen es igual a la tasa a la que está dispuesto a realizar ese intercambio. En otras palabras, la tasa marginal de transformación (TMT) es igual a la tasa marginal de sustitución (TMS). Llamaremos a esto la condición de primer orden de Alexei para la optimización.

El problema de Anil se puede escribir de manera muy similar. Él también quiere maximizar su utilidad, que depende de dos bienes: dinero para sí mismo y dinero para Bala. Y se enfrenta a una limitación: solo tiene 10 000 rupias a repartir entre él y su prójimo. Si llamamos $x$ al dinero de Anil, $y$ al de Bala y representamos la función de utilidad de Anil por $U(x,\ y)$, entonces el problema de Anil es:

$$\text{elegir } x \text{ y } y \text{ para maximizar }U(x,\ y) \text{ sujeto a la restricción } x + y = 10\ 000$$

La ecuación $x + y = 10\ 000$ describe la frontera factible a lo largo de la cual Anil puede dividir su premio de la lotería si no se pierde nada del dinero ni se pagan impuestos por él.

Hemos visto dos métodos para resolver problemas de optimización restringida (véase el Leibniz 3.5.1). Uno es el método de sustitución, donde se empieza sustituyendo la restricción en la función objetivo. El otro método, que utilizamos aquí, es aplicar la condición de primer orden:

$$\text{TMT} = \text{TMS}$$

Esta condición está representada en la figura 4.5 del texto, reproducida aquí como figura 1: la asignación óptima $B$ se halla en el punto de tangencia de la curva de indiferencia de Anil y la restricción (frontera factible).

Si se conocieran las preferencias de Anil (su función de utilidad), se podría resolver el problema de optimización restringida para determinar con precisión el punto $B$. Supongamos que tiene una función de utilidad de Cobb-Douglas de la misma forma que la de Alexei en el Leibniz 3.5.1:

$$U(x,\ y) = x^\alpha y^\beta$$

donde $\alpha$ y $\beta$ son constantes positivas. Las utilidades marginales de Anil se calculan, como de costumbre, haciendo la derivada parcial:

$$\frac{\partial U}{\partial x} = \alpha x^{\alpha -1} y^\beta = \frac{\alpha U}{x}, \quad \frac{\partial U}{\partial y} = \beta x^\alpha y^{\beta -1} = \frac{\beta U}{y}$$

Su tasa marginal de sustitución (el valor absoluto de la pendiente de la curva de indiferencia) es el cociente de las utilidades marginales:

$$\text{TMS }= \left.\frac{\partial U}{\partial x}\middle/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. = \left. \frac{\alpha U}{x} \middle/ \frac{\beta U}{y}\right. = \frac{\alpha y}{\beta x}$$

La tasa marginal de transformación es el valor absoluto de la pendiente de la frontera factible, $x + y = 10\ 000$. Reescribiendo esto como $y = 10\ 000 - x$, se observa que la pendiente es $-1$, por lo que:

$$\text{TMT} = 1$$

En otras palabras, Anil puede transformar su dinero en dinero para Bala a una tasa de uno por uno. Igualar la TMS con la TMT proporciona la condición de primer orden para la elección óptima de Anil:

$$\alpha y = \beta x$$

Existen infinitos puntos en el plano $xy$ que cumplen esta condición: todos aquellos en los que la pendiente de la curva de indiferencia es $-1$, que se encuentran en una línea recta que pasa por el origen. Sin embargo, el que buscamos se halla en la frontera factible. Por lo tanto, el punto óptimo de Anil se encuentra resolviendo el par de ecuaciones simultáneas:

$$x+y=10\ 000, \quad \beta x - \alpha y = 0$$

Se puede comprobar (por ejemplo, usando la primera ecuación para sustituir $y$ en la segunda) que la solución es:

$$x = \frac{10\ 000 \, \alpha}{\alpha +\beta}, \quad y = \frac{10\ 000 \, \beta}{\alpha +\beta}$$

Por ejemplo, si en las preferencias de Anil $\alpha =0,7$ y $\beta=0,3$, estas expresiones se reducen a $x =7000$ e $y=3000$ como en el texto: Anil le da 3000 rupias a su vecino Bala y se queda con 7000 rupias para sí mismo.

Podemos escribir la solución al problema de Anil en términos de las participaciones del premio de la lotería que deberían ir a Anil y Bala, respectivamente:

$$\frac{x}{10\ 000} = \frac{\alpha}{\alpha +\beta}, \quad \frac{y}{10\ 000} = \frac{\beta}{\alpha +\beta}$$

Una rápida revisión del álgebra de la ecuación anterior debería convencernos de que las participaciones óptimas siguen siendo $\alpha/(\alpha +\beta)$ y $\beta/(\alpha +\beta)$ si las $10\ 000$ rupias se sustituyen por cualquier otro número positivo: las porciones del premio asignadas a Anil y Bala son independientes de su tamaño. Observe también que esta respuesta nos permite hacer algo que no hemos hecho hasta ahora: dar algún tipo de interpretación de los parámetros $\alpha$ y $\beta$ de la función de utilidad de Anil. Cuanto mayor es $\alpha$ en relación con $\beta$, más le importa a Anil cuánto dinero se queda él con respecto a cuánto dinero recibe Bala.

Otra propiedad que se puede observar aquí es que solo la razón entre $\alpha$ y $\beta$ es relevante para la elección óptima de Anil. Haría la misma elección si $\alpha =70$ y $\beta=30$ porque sus curvas de indiferencia tendrían exactamente la misma forma, aunque la escala en la que se mide la utilidad sería diferente.

Estas características de la solución son una consecuencia de que Anil tenga una función de utilidad de Cobb-Douglas. Con un tipo de función de utilidad diferente podría repartir su premio en proporciones distintas, dependiendo del tamaño del premio.

Para leer más: secciones 15.1, 17.1 y 17.3 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. (2015) Mathematics for economists: An introductory textbook, (4ª ed.), Manchester: Manchester University Press.