Leibniz 5.4.1 Preferencias cuasilineales

Ángela es una agricultora que valora dos cosas: el grano (lo que consume) y el ocio. En el capítulo 5 hemos supuesto que sus preferencias relativas a estos dos bienes tienen una propiedad especial: valora el grano respecto del ocio en una cantidad constante, independientemente de la cantidad de grano que ya tenga. Este Leibniz muestra cómo capturar esa propiedad matemáticamente.

En los Leibniz anteriores hemos utilizado la función de utilidad de Cobb-Douglas. Ahora exploramos una alternativa: la función de utilidad cuasilineal.

Sean $t$ las horas diarias de ocio de Ángela y $c$ la cantidad de quintales de grano que consume por día. Suponemos, como en el texto principal, que el ritmo al que Ángela está dispuesta a cambiar grano por ocio se mantiene constante a medida que aumenta su consumo de grano. En otras palabras, su tasa marginal de sustitución entre ocio y grano depende solo del tiempo de ocio y no depende en absoluto del grano. En la figura 1 se representan las curvas de indiferencia con esta propiedad. Para cualquier cantidad de ocio, por ejemplo $t_0$, la pendiente de la curva de indiferencia en el punto $(t_0,\ c)$ es la misma para todos los valores de $c$, lo que significa que las líneas tangentes de la figura son paralelas.

Una función de utilidad con la propiedad de que la tasa marginal de sustitución (TMS) entre $t$ y $c$ depende solo de $t$ es:

$$U(t,\ c) = v(t) + c$$

donde $v$ es una función creciente: $v'(t)\gt0$ porque Ángela prefiere tener más ocio que menos. Este tipo de función se llama función cuasilineal porque la utilidad es lineal respecto de $c$ y alguna función de $t$. Mostraremos ahora que esta función de utilidad tiene la propiedad mencionada anteriormente.

La tasa marginal de sustitución de Ángela (TMS) entre el ocio $t$ y el consumo de grano $c$ se define en el Leibniz 3.2.1 como el valor absoluto de la pendiente de la curva de indiferencia en el punto $(t,\ c)$. Puede calcularse mediante la derivada del Leibniz anterior:

$$\text{TMS} = \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial c} \right.$$

En este caso, $\dfrac{\partial U}{\partial t}=v'(t)$ y $\dfrac{\partial U}{\partial c}=1$, por lo que

$$\text{TMS} = v'(t)$$

Puede obtenerse el mismo resultado directamente sin utilizar la fórmula general. Cada curva de indiferencia se puede expresar como

$$v(t) + c = \text{constante}$$

o $c= k - v(t)$, donde $k$ es una constante. Por tanto,

$$\frac{dc}{dt} = - v'(t) \lt0$$

a lo largo de una curva de indiferencia. La curva tiene pendiente descendente y el valor absoluto de la pendiente es $v'(t)$. En consecuencia, la TMS es una función únicamente de $t$, como queríamos demostrar.

En la figura 1, las curvas de indiferencia tienen la propiedad habitual de una TMS decreciente: se van haciendo más planas a medida que nos movemos hacia la derecha. Para que esto suceda, $v'(t)$ debe disminuir a medida que aumenta $t$. Así, $v''(t)\lt0$: $v$ es una función cóncava. Como las curvas de indiferencia son de la forma $'c = \text{constante} - v(t)'$, la diferencia entre dos curvas cualesquiera será una distancia vertical constante, como se puede ver en la figura 1. El motivo por el que las curvas se agrupan horizontalmente para valores grandes de $c$ es simplemente su mayor inclinación en esa zona.

En resumen: la función de utilidad

$$U(t,\ c) = v(t) + c$$

donde la función $v$ es creciente y cóncava, se llama cuasilineal. Usar una función de utilidad con esta forma significa que estamos haciendo suposiciones restrictivas sobre las preferencias, pero tiene una implicación muy útil. Como la utilidad tiene la forma «$c + \text{ algo}$», se mide en las mismas unidades que el consumo. Ángela valora $t$ horas de ocio tanto como $v(t)$ quintales de grano.

Poder medir la utilidad en las unidades de consumo es útil en ocasiones, especialmente en los casos en que Ángela puede vender el grano en el mercado y comprar productos lácteos, ropa o cualquier otra cosa con lo que gane. En estas situaciones, los economistas suelen interpretar $c$ como un ingreso de dinero. Suponer que las preferencias son cuasilineales permite medir las ganancias y pérdidas de utilidad en términos monetarios.

Un ejemplo

Un ejemplo de una función de utilidad cuasilineal es:

$$U(t,\ c) = b t^\alpha + c$$

donde $b$ y $\alpha$ son constantes positivas y $\alpha\lt1$. Se puede ver inmediatamente que tiene la forma $v(t) +c$, siendo $v(t)= b t^\alpha$. Para demostrar que se trata de una función de utilidad cuasilineal como la descrita anteriormente, debemos mostrar que la función $v$ es creciente y cóncava. Esto es fácil de hacer:

$$v'(t)= \alpha b t^{\alpha -1}$$

que es positiva porque $b$ y $\alpha$ son positivos, y

$$v''(t)= (\alpha -1)\alpha b t^{\alpha -2}$$

que es negativa porque $b\gt0$ y $0\lt\alpha \lt1$.

Puede leer más sobre este tema en: secciones 17.1 a 17.3 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. (2015) Mathematics for economists: An introductory textbook, (4ª Ed.), Manchester: Manchester University Press.