Leibniz 3.1.2 Productivité marginale décroissante

La fonction de production d’Alexei a comme propriété la décroissance de la productivité marginale. Nous pouvons le voir graphiquement : la courbe devient plus plate à mesure que le temps passé à étudier par jour augmente. Qu’est-ce que cela implique pour les propriétés mathématiques de la fonction de production ?

Si la fonction de production est $y=f(h)$, la productivité marginale du travail est $\frac{dy}{dh}=f’(h)$, donc elle décroit quand $h$ augmente si :

$$\frac{d}{dh}\left( \frac{dy}{dh} \right) = \frac{d^{2}y}{dh^{2}} < 0$$

ou, de manière équivalente :

$$f’’(h) \lt 0$$

C’est-à-dire que la dérivée seconde de la fonction de production est négative.

Un exemple

Considérez de nouveau la fonction de production :

$$y = Ah^\alpha$$

où $A$ et $\alpha$ sont des constantes telles que $A \gt 0$ et $0 \lt \alpha \lt 1$. Nous avons montré dans le supplément Leibniz 3.1.1 que, pour cette fonction de production,

$$\text{PmT} = \frac{dy}{dh} = \alpha Ah^{\alpha -1}$$

qui est positive tant que le nombre d’heures d’étude est positif. Ce que nous voulons montrer ensuite, c’est, qu’à mesure que le nombre d’heures $h$ augmente, cette productivité marginale devient de plus en plus petite.

Une manière de le voir est de se concentrer sur l’expression :

$$\alpha Ah^{\alpha -1}$$

$h$ est élevé à la puissance $\alpha -1$, qui est négative puisque $\alpha \lt 1$. Souvenez-vous de la propriété des exposants négatifs selon laquelle quand $h$ augmente, $h^{\alpha -1}$ diminue. Comme $A$ et $\alpha$ sont positifs, $\alpha Ah^{\alpha -1}$, la productivité marginale du travail, diminue aussi.

Nous pouvons également montrer que la productivité marginale est décroissante en calculant sa dérivée :

$$\frac{d^2 y}{dh^2} = (\alpha -1)\alpha Ah^{\alpha -2}= \alpha(\alpha -1)\frac{Ah^\alpha}{h^2} =\alpha(\alpha -1)\frac{y}{h^2}$$

Quand $h$ est positif, nous savons que $y$ est positif aussi. Alors quand $0 \lt \alpha \lt 1$, $\alpha(\alpha -1) \lt 0$, et donc :

$$\frac{d^2 y}{dh^2} =\alpha(\alpha -1)\frac{y}{h^2} \lt 0$$

C’est ce que nous voulions montrer : la dérivée seconde de la fonction de production est négative, donc la productivité marginale décroit quand $h$ augmente. En d’autres termes, la productivité marginale du travail est décroissante.

Dans le supplément Leibniz 3.1.1 nous avons montré que quand $\alpha \lt 1$, la productivité marginale est inférieure à la productivité moyenne. Cette propriété est étroitement liée au concept de productivité marginale décroissante : si la productivité marginale d’une fonction de production est décroissante pour toutes les valeurs du facteur de production, alors il est aussi vrai que la productivité marginale est inférieure à la productivité moyenne (PmT < PMT).

La Figure 2 montre le graphique d’une fonction de production $y = Ah^\alpha$ dans le cas où $\alpha =0,4$ et $A=30$, ainsi que le graphique de la productivité marginale du travail. Pour chaque valeur de $h$, le graphique supérieur montre la valeur de $y$ et le graphique inférieur montre la valeur de la pente de la fonction de production, $dy/dh$. Vous pouvez voir que la productivité marginale du travail décroît en $h$.

Pour en savoir plus : Sections 6.4 et 8.4 de Pemberton et Rau (2016).