Leibniz 3.2.1 Courbes d’indifférence et taux marginal de substitution

Alexei s’intéresse à sa note à l’examen et son temps libre. Nous avons vu que ses préférences pouvaient être représentées graphiquement en utilisant des courbes d’indifférence, et que sa disposition à échanger des points à l’examen contre du temps libre (son taux marginal de substitution) était représentée par la pente de la courbe d’indifférence. Nous montrons ici comment représenter ses préférences mathématiquement.

utilité

Un indicateur numérique de la valeur qu’un individu confère à un résultat possible, de sorte qu’un résultat avec une valeur supérieure sera toujours choisi par rapport à un résultat présentant une valorisation inférieure, lorsque les deux sont disponibles.

Souvenez-vous qu’une courbe d’indifférence lie différentes combinaisons de points et de temps libre qui donnent à Alexei la même quantité d’utilité. Les préférences peuvent être représentées mathématiquement par une fonction d’utilité, qui nous dit de quelle manière les « unités d’utilité » d’une personne dépendent des biens disponibles. Alexei ne s’intéresse qu’à deux biens : ses heures de temps libre et sa note à l’examen. S’il a $t$ unités de temps libre et $y$ points de note, son utilité est donnée par une fonction :

$$U(t,\ y)$$

Comme la note et le temps libre sont tous les deux des biens (Alexei voudrait avoir le plus possible des deux), la fonction d’utilité doit exhiber la propriété selon laquelle $U$ augmente quand $t$ ou $y$ augmentent. Dans ce cas, on dit que l’utilité dépend positivement de $t$ et $y$.

courbe d’indifférence

Une courbe dont les points indiquent toutes les combinaisons de biens qui donnent un niveau d’utilité donné à l’individu.

La fonction d’utilité d’Alexei a deux arguments. À l’image d’une fonction à une variable qui peut être représentée graphiquement par une courbe dans un plan, une fonction à deux variables peut être représentée par une surface dans un espace tridimensionnel. Comme les graphiques tridimensionnels sont compliqués à manier, les économistes analysent l’utilité graphiquement en utilisant la même technique utilisée pour représenter l’espace tridimensionnel dans lequel nous vivons : les cartes d’isolignes (cartes en courbes de niveau). Les isolignes sont des lignes qui joignent des points de même hauteur au-dessus du niveau de la mer. De manière similaire, les courbes d’indifférence sont les isolignes de la surface d’utilité ; elles joignent des points procurant la même utilité.

Dans le cas d’Alexei, une courbe d’indifférence montre toutes les combinaisons de temps libre et de note à l’examen qui lui procurent le même niveau d’utilité. L’équation d’une courbe d’indifférence typique est

$$U(t,\ y)=c$$

où la constante $c$ représente le niveau d’utilité atteint sur la courbe. Les différentes valeurs de $c$ correspondent aux différentes courbes d’indifférence : si vous augmentez $c$ vous obtenez une nouvelle courbe d’indifférence qui se situe au-dessus et à la droite de l’ancienne courbe. Vous pouvez voir trois des courbes d’indifférence d’Alexei dans la Figure 3.6 du texte, que nous avons reproduite sous le nom de Figure 1 ci-dessous.

Taux marginal de substitution

Étant donnée une combinaison $(t,\ y)$ de temps libre et de note, le taux marginal de substitution (TMS) d’Alexei (c’est-à-dire, sa disposition à échanger des points de note contre une heure supplémentaire de temps libre) est donnée par la pente de la courbe d’indifférence $U(t,\ y)=c$ en ce point.

Comment pouvons-nous calculer la pente de la courbe d’indifférence $U(t,\ y)=c$ ?

Pour ce faire, nous devons utiliser les dérivées partielles de la fonction d’utilité. Par exemple, $\partial U/\partial t$ montre comment l’utilité change quand $(t)$ augmente et que $y$ est maintenu constant. En économie, la dérivée partielle $\partial U/\partial t$ est appelée l’utilité marginale du temps libre. De manière similaire, $\partial U/\partial y$ correspond à l’utilité marginale des points de note. Nous avons déjà remarqué que l’utilité dépendait positivement de $t$ et de $y$. Autrement dit, les utilités marginales d’Alexei sont toutes les deux positives.

Nous calculons la pente de la courbe d’indifférence en utilisant une technique appelée la différentiation implicite, que nous utiliserons à nouveau dans d’autres suppléments Leibniz. Dans ce cas-ci, la méthode consiste à considérer comment la note à l’examen devrait changer en réponse à une hausse du temps libre d’une petite quantité afin de garder l’utilité à un niveau constant.

Supposez que $t$ et $y$ varient en petites quantités $\Delta t$ et $\Delta y$. La formule des petites variations pour les fonctions à deux variables donne une approximation de la variation de l’utilité $\Delta U$, en l’exprimant comme une somme d’un « effet temps libre » et d’un « effet note » :

$$\Delta U \approx \frac{\partial U}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial U}{\partial y} \Delta y$$

Si les changements $\Delta t$ et $\Delta y$ sont tels qu’Alexei reste sur la même courbe d’indifférence, son utilité ne change pas. On a donc $\Delta U = 0$, ce qui implique que :

$$\frac{\partial U}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial U}{\partial y} \Delta y \approx 0$$

En réarrangeant,

$$\frac{ \Delta y}{\Delta t} \approx - \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right.$$

Les changements $\Delta t$ et $\Delta y$, ensemble, créent un petit mouvement le long d’une courbe d’indifférence. Si l’on prend maintenant la limite quand $\Delta t\to 0$, l’expression à gauche s’approche de la valeur de la pente de la courbe et l’approximation devient une équation.

Ainsi, la pente de la courbe d’indifférence à travers tout point $(t,\ y)$ est donnée par la formule :

$$\frac{dy}{dt} = -\frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right.$$

taux marginal de substitution (TMS)

Le compromis qu’une personne est prête à faire entre deux biens. En tout point, c’est la pente de la courbe d’indifférence. Voir également : taux marginal de transformation.

L’expression à droite de cette équation est négative, puisque les deux utilités marginales sont positives : l’augmentation du temps libre ou de la note augmentent l’utilité d’Alexei. Les courbes d’indifférence ont donc des pentes négatives, comme dans le graphique. Pour éviter la confusion, nous définissons habituellement le taux marginal de substitution (TMS) comme correspondant à la valeur absolue de la pente. Ainsi :

$$\text{TMS} = \left| \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. \right|$$

ou, en français,

$$\text{taux marginal de substitution} = \left| \frac{\text{utilité marginale du temps libre}}{\text{utilité marginale de la note à l’examen}} \right|$$

Définir le TMS comme un nombre positif nous permet de dire, par exemple, que le TMS est plus élevé (Alexei est davantage disposé à échanger des points de note contre du temps libre) là où la courbe d’indifférence est plus pentue, tandis que la pente de la courbe d’indifférence est davantage négative à ces endroits.

Le TMS est le taux auquel Alexei est disposé à échanger des points de note contre des heures supplémentaires de temps libre. L’équation ci-dessus, qui exprime le TMS comme un ratio d’utilités marginales, peut être interprétée de la façon suivante : le TMS est environ égal à l’utilité supplémentaire obtenue par une unité supplémentaire de temps libre, divisée par l’utilité supplémentaire obtenue par un point de note supplémentaire. Comme d’habitude quand on interprète des affirmations exactes impliquant des calculs en termes d’unités individuelles, l’approximation est bonne si les unités sont des petites quantités.

Préférences convexes

Chaque courbe d’indifférence de la Figure 1 s’aplatit lorsque l’on se déplace vers la droite le long de la courbe :

taux marginal de substitution (TMS)

Le compromis qu’une personne est prête à faire entre deux biens. En tout point, c’est la pente de la courbe d’indifférence. Voir également : taux marginal de transformation.

Le TMS d’Alexei diminue s’il a plus de temps libre tandis que sa note à l’examen diminue, de sorte que son utilité reste constante. Cette propriété qu’ont les préférences d’Alexei est connue sous le terme décroissance du taux marginal de substitution, et nous en faisons habituellement l’hypothèse lorsque nous traçons des courbes d’indifférence avec deux biens.

Une autre manière de décrire cette hypothèse est de remarquer que les courbes d’indifférence d’Alexei sont convexes. En termes algébriques, si nous réécrivons l’équation d’une courbe d’indifférence $U(t,\ y)=c$ sous la forme $y=g(t,\ c)$, alors $g(t,\ c)$ est une fonction décroissante et convexe de $t$ pour un $c$ donné. On dit qu’Alexei a des préférences convexes.

Une personne dont les préférences sont convexes préfère des combinaisons de biens à des quantités extrêmes de l’un ou l’autre des deux biens. Si nous traçons un segment entre deux points de la même courbe d’indifférence, chaque point sur le segment est alors une combinaison des deux extrémités du segment. Quand les courbes d’indifférence sont convexes, tous les points sur le segment entre les deux extrémités procurent une utilité supérieure à l’utilité procurée par les extrémités.

Nous donnerons un exemple d’une fonction d’utilité exhibant un TMS décroissant dans la prochaine section.

Pour en savoir plus : Sections 14.2 (pour la formule des petites variations) et 15.1 (pour les isolignes et la différentiation implicite) de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.

Un exemple : la fonction d’utilité Cobb-Douglas

Dans cette section, nous nous intéressons à une fonction d’utilité particulière qui est souvent utilisée dans les modèles économiques. Nous dérivons les expressions des utilités marginales et du taux marginal de substitution, et nous vérifions leurs propriétés.

Comme précédemment, Alexei s’intéresse à son temps libre et à la note de son examen. Supposez que sa fonction d’utilité soit :

$$U(t,\ y)= t^\alpha y^\beta$$

où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes positives. Cette fonction exhibe des propriétés mathématiques très commodes. Elle est appelée fonction de Cobb-Douglas d’après le nom des deux personnes qui l’ont introduite en économie.

Pour trouver les utilités marginales du temps libre et de la note à l’examen, il faut trouver les dérivées partielles de la fonction d’utilité. En dérivant $U$ par rapport à $t$, nous trouvons que l’utilité marginale du temps libre est :

$$\frac{\partial U}{\partial t} = \alpha t^{\alpha -1} y^\beta$$

Nous savons de la fonction d’utilité que $t^{\alpha -1} y^\beta = U/t$, ce qui nous donne une expression plus simple pour l’utilité marginale du temps libre :

$$\frac{\partial U}{\partial t} = \frac{\alpha U}{t}$$

De manière similaire, l’utilité marginale de la note à l’examen est :

$$\frac{\partial U}{\partial y} = \beta t^{\alpha} y^{\beta-1} = \frac{\beta U}{y}$$

Remarquez que quand $t$ et $y$ sont positifs, $U$ l’est aussi. Ainsi, l’hypothèse selon laquelle $\alpha$ est aussi positif implique que $\partial U/\partial t \gt0$. De manière similaire, $\beta\gt0$ implique que $\partial U/\partial y \gt0$. Autrement dit, l’hypothèse selon laquelle $\alpha$ et $\beta$ sont tous les deux positifs garantit que les « biens sont bons » : l’utilité d’Alexei augmente quand son temps libre ou sa note augmente.

Dans la section précédente, nous avons défini le taux marginal de substitution (TMS) entre le temps libre et les points comme la valeur absolue de la pente d’une courbe d’indifférence, et nous avons montré qu’il était égal au ratio de l’utilité marginale du temps libre sur l’utilité marginale de la note à l’examen. Avec la fonction d’utilité Cobb-Douglas,

$$\text{TMS} = \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. = \frac{\alpha U}{t} \left/ \frac{\beta U}{y} \right. = \frac{\alpha y}{\beta t}$$

Les courbes d’indifférence sont décroissantes dans l’espace $(t,\ y)$, donc lorsque l’on se déplace vers la droite le long d’une courbe d’indifférence, $t$ augmente et $y$ diminue, et donc $y/t$ diminue. Puisque $\alpha$ et $\beta$ sont positifs, le TMS diminue aussi. La fonction d’utilité de Cobb-Douglas implique donc un TMS décroissant.

Pour en savoir plus : Sections 15.1 et 15.2 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.