Leibniz 5.7.1

Angelas Wahl der Arbeitszeiten, wenn sie Pacht zahlt

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

In Leibniz 5.4.2 haben wir Angelas beschränktes Optimierungsproblem für die Entscheidungen gelöst, die sie als unabhängige Landwirtin getroffen hat. Jetzt betrachten wir den Fall, in dem Bruno das Land gehört und Angela Pacht zahlen muss, um Getreide zu produzieren. Wir werden sehen, dass Angelas quasi-lineare Präferenzen eine wichtige Auswirkung auf den Einfluss der Pacht auf ihre Entscheidung haben.

Wie zuvor werden Angelas Präferenzen durch eine quasi-lineare Nutzenfunktion dargestellt:

$$U(t,\ c) = v(t) + c$$

wobei $t$ ihre tägliche Freizeit und $c$ die Anzahl der Scheffel Getreide, die sie pro Tag verbraucht, darstellt. Die Funktion $v$ ist steigend und konkav. Ihre Machbarkeitsgrenze zeigt, wie die Anzahl der Scheffel Getreide, die sie pro Tag verbrauchen kann, $y$, von der Freizeit abhängt, die sie sich nimmt.

Als Angela eine unabhängige Landwirtin war, konnte sie das gesamte von ihr produzierte Getreide verbrauchen. Ihre Machbarkeitsgrenze war $c=g(t)$, wobei $g'(t)\lt0$ und $g''(t)\lt0$, und ihr beschränktes Optimierungsproblem darin bestand, $t$ und $c$ so zu wählen, dass $v(t) + c$ maximiert wird, und zwar unter der Bedingung $c =g(t)$, womit wir die Bedingung erster Ordnung haben:

$$v'(t) + g'(t)=0$$

Ihre optimale Wahl der freien Zeit, $t^*$, ist der Wert von $t$, der diese Gleichung erfüllt. Denken Sie daran, dass ihre GRS $v'(t)$ und ihre GRT $-g'(t)$ ist; die optimale Wahl ist, wenn GRS = GRT.

Wie ändert sich das Problem, wenn Angela Pacht zahlt?

Nehmen wir an, sie muss ihrem Verpächter Bruno $c_0$ Scheffel Getreide pro Tag für das Recht zahlen, seinen Acker zu betreiben. Das bedeutet, dass Angelas Konsum von Getreide geringer ist als ihre Produktion. Wenn sie sich $t$ Stunden Freizeit nimmt, produziert sie wie bisher $g(t)$ Scheffel Getreide, aber ihr Konsum wird nun sein:

$$c= g(t) -c_0$$

In diesem Fall besteht ihr beschränktes Optimierungsproblem darin, $t$ und $c$ so zu wählen, dass $v(t) + c$ maximiert wird, und zwar unter der Nebenbedingung $c =g(t)-c_0.$

Aber die Bedingung erster Ordnung für die optimale Wahl der freien Zeit ist genau dieselbe wie zuvor:

$$v'(t) + g'(t)=0$$

Sie wird also genau die gleiche Menge an freier Zeit $t^*$ wählen wie in dem Fall, in dem sie keine Pacht zahlen musste. Das bedeutet natürlich, dass sie die gleiche Menge an Getreide produzieren wird wie zuvor, obwohl ihr Konsum um den Betrag der Pacht, den sie zahlen muss, geringer sein wird.

Warum ist das so? Wenn Angela Pacht zahlen muss, nimmt sie sich $t$ Stunden Freizeit und zahlt $c_0$ an Bruno, so dass ihr Konsum geringer ist. Aber die Rate, mit der sie freie Zeit in Konsum für sich selbst umwandeln kann, ändert sich nicht. Eine zusätzliche Stunde Arbeit bringt ihr genau so viel zusätzliches Getreide, wie wenn sie keine Pacht zahlen müsste, also ist ihre GRT immer noch $g'(t)$. Und der geringere Konsum wirkt sich aufgrund ihrer quasi-linearen Präferenzen auch nicht auf ihre Grenzrate der Substitution aus: Ihre GRS ist $v'(t)$, unabhängig von ihrem Konsum von Getreide.

Die Auswirkungen der Pachtzahlung sind in Abbildung 1 dargestellt. Angelas ursprüngliche Machbarkeitsgrenze als unabhängige Landwirtin, $c=g(t)$, ist die obere rote Kurve. Ihre optimale Wahl von Freizeit und Konsum liegt in diesem Fall bei P. Wenn sie eine Pacht von $c_0$ zahlt, verschiebt sich ihre Machbarkeitsgrenze für Konsum und Freizeit vertikal um $c_0$ Einheiten nach unten. Dies ist die untere rote Kurve im Diagramm: $c=g(t)-c_0$.

Angelas neuer optimaler Punkt ist Q: Sie hat weiterhin $t^*$ Stunden Freizeit pro Tag, und ihr täglicher Konsum von Getreide beträgt jetzt $c^* - c_0$ Scheffel. Sie können den Effekt der Quasi-Linearität in der Abbildung sehen: quasi-lineare Indifferenzkurven haben die gleiche Steigung, wenn Sie sich auf einer vertikalen Linie nach oben oder unten bewegen.

Wir haben gezeigt, dass Angela unabhängig von der Höhe der Pacht $c_0$ die gleiche Menge an freier Zeit wählen wird. Sie trifft die gleiche Wahl, wenn die Pacht gleich null ist—der Fall der unabhängigen Landwirtin—und sie würde auch dann die gleiche Wahl treffen, wenn $c_0$ negativ wäre: zum Beispiel, wenn es keine Grundeigentümer:innen gäbe und sie von der Regierung eine Subvention für die Arbeit auf ihrem Acker erhalten würde.

Das Ergebnis, dass die Pachtzahlung nichts an Angelas Allokation ändert, bedeutet, dass ein Verteilungskonflikt zwischen ihr und Bruno nur darin besteht, wie viel Getreide einzelne von ihnen konsumieren dürfen. Aufgrund ihrer quasi-linearen Präferenzen wird Angelas Arbeitszeit unabhängig davon bestimmt, wie das Getreide verteilt wird, so dass die Größe des Kuchens und dessen Aufteilung völlig unabhängig voneinander sind. Die Annahme der Quasi-Linearität wird in Einheit 5 gemacht, damit wir diese beiden Fragen getrennt betrachten können.

Lesen Sie mehr: Abschnitte 17.1 bis 17.3 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.