Leibniz 3.4.1 Taux marginal de transformation

La décision d’Alexei concernant le nombre d’heures passées à étudier est limitée par l’ensemble possible de combinaisons de temps libre et de sa note d’examen. Il fait face à un arbitrage : pour obtenir une bonne note à son cours, il doit renoncer à une partie de son temps libre. Le taux marginal de transformation (TMT) mesure l’ampleur de l’arbitrage. Nous montrons ici comment le TMT peut être calculé à partir de la fonction de production.

L’équation de la frontière des possibles

La Figure 1 montre l’ensemble des possibles d’Alexei. Souvenez-vous que nous avons construit la frontière des possibles en utilisant une fonction de production qui lie la note à l’examen aux heures passées à étudier.

Figure 1 Comment la quantité de temps libre d’Alexei affecte-t-elle sa note finale ?

Pour voir cela mathématiquement, imaginez que la fonction de production d’Alexei soit (comme avant) :

est sa production (la note à l’examen) et ses heures passées à étudier, et est une fonction croissante.

La frontière des possibles est la relation entre la note et le temps libre. Si Alexei s’accorde heures de temps libre, ses heures passées à étudier sont :

En substituant cela dans la fonction de production, nous obtenons l’équation de la frontière des possibles :

Calculer le taux marginal de transformation

Nous avons vu graphiquement que le TMT est lié à la pente de la frontière des possibles. Nous pouvons trouver la pente en dérivant l’équation de la frontière des possibles. Quand Alexei a heures de temps libre, le taux auquel sa note change à mesure que son temps libre augmente est donné par :

en utilisant la règle des fonctions composées (parfois appelée la règle de dérivation en chaîne). En simplifiant,

L’expression à la droite de cette équation est négative, puisque est une fonction croissante. Ainsi, la frontière a une pente croissante, comme dans le graphique. La pente de la frontière des possibles au point correspond à la quantité négative .

taux marginal de transformation (TMT)
La quantité d’un bien qui doit être sacrifiée afin d’obtenir une unité additionnelle d’un autre bien. En tout point, il correspond à la pente de la frontière des possibles. Voir également : taux marginal de substitution.

La pente négative nous dit que la note baisse à mesure que le temps libre augmente. Le taux marginal de transformation (TMT) correspond au taux auquel la note augmente à mesure que l’on renonce au temps libre. Il est donné par la valeur absolue de la pente, une quantité positive :

La signification du TMT est la suivante : si le temps libre augmente d’une petite quantité, disons heures, la note à l’examen diminue d’environ points. Ou si le temps libre diminue de heures, la note à l’examen augmente d’environ points. La Figure 2 montre la frontière des possibles pour la fonction de production (qui a une forme similaire, mais pas identique, à la forme de la frontière des possibles d’Alexei). La partie inférieure montre le TMT, qui augmente à mesure que l’on se déplace vers la droite le long de la frontière, quand le temps libre augmente et la note à l’examen diminue.

Pour résumer, le TMT mesure le taux auquel la note doit baisser lorsque les heures de temps libre augmentent, et il peut être trouvé en dérivant simplement la fonction de production. Comme le nombre d’heures passées à étudier est égal à , le TMT est identique à la productivité marginale du travail . Le fait que le TMT augmente lorsque l’on se déplace le long de la frontière vers plus de temps libre et moins d’heures passées à étudier est une conséquence des rendements décroissants du travail : comme est une fonction décroissante de , elle augmente quand diminue.

Figure 2 La frontière des possibles et le taux marginal de transformation correspondant.