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Leibniz 2.2.1 Introdução aos Leibniz

Os suplementos Leibniz mostrarão como a matemática mais sofisticada, especialmente cálculo, pode ser utilizada nos modelos econômicos. Estes suplementos não são necessários para entender nossos modelos, mas podem ser úteis se você estiver estudando tópicos mais avançados de economia ou matemática. Neste primeiro Leibniz, vamos explicar de onde vem este nome e apresentar notações básicas.

Quem inventou o cálculo?

Pode-se dizer que a controvérsia científica mais famosa de todos os tempos deu-se entre Sir Isaac Newton e Gottfried Leibniz, a respeito de quem inventou o cálculo.

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Isaac Newton

Retrato por Sir Godfrey Kneller, Wikipedia/Wikimedia Commons

Sir Isaac Newton (1642–1726) foi um físico e matemático inglês reconhecido como um dos cientistas mais importantes que já existiram. Além de inventar o cálculo, Newton descobriu a lei da gravidade, descreveu as bases da mecânica clássica, fez grandes contribuições à teoria da óptica e formulou a lei do resfriamento. Como Mestre da Casa da Moeda da Inglaterra durante três reinados, Newton criou o padrão-ouro, fundamento do sistema monetário internacional por quase duzentos anos.

Newton utilizou métodos de cálculo pela primeira vez em um manuscrito publicado em 1666. Esses métodos também foram utilizados em seu livro Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, publicado em 1687. Newton finalizou sua obra sobre cálculo, O Método das Fluxões e Séries Infinitas, em 1671, mas não a publicou até 1736.

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Gottfried Wilhelm von Leibniz

Retrato por Andreas Scheits, Wikipedia/Wikimedia Commons

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716) foi um matemático e filósofo alemão. Em 1675, ele utilizou cálculo integral para determinar a área abaixo de uma curva, introduzindo os símbolos S longo, escrito como $\int$ , usado para representar integrais, e $d$ , para representar diferenciais. Em filosofia, seu trabalho se concentrava no princípio do otimismo, segundo o qual Deus teria criado o melhor de todos os mundos possíveis, ainda que seu tratado sobre o assunto, denominado Teodicéia, tenha sido satirizado por Voltaire em seu romance Cândido.

Quando Leibniz lançou seu trabalho sobre cálculo, os apoiadores de Newton o acusaram de plágio. Perto de sua morte, sua reputação entrou em declínio e Leibniz morreu na pobreza. Porém, matemáticos e filósofos tem reconstruído sua reputação.

Historiadores modernos aceitam que Newton e Leibniz inventaram o cálculo individualmente e ao mesmo tempo, independentes um do outro. Portanto, para decidir quem daria nome aos suplementos de cálculo, tiramos a sorte jogando cara-e-coroa: Leibniz venceu.

Notação e Convenções

Muitos Leibnizes contém recomendações de leitura adicional, que referem-se, na maioria das vezes, a passagens selecionadas de: Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.

Funções de uma variável

$y=f(x)$	função de uma variável, em que $x$ é um elemento do conjunto domínio, e $y$ é um elemento do conjunto imagem
$\dfrac{dy}{dx}$	primeira derivada de $f(x)$
$f'( x)$	notação alternativa para a primeira derivada de $f(x)$
$\dfrac{d^2 y}{dx^2}$	segunda derivada de $f(x)$
$f''( x)$	notação alternativa para a segunda derivada de $f(x)$

Integração

$y=f(x)$	função de uma variável, em que $x$ é um elemento do conjunto domínio, e $y$ é um elemento do conjunto imagem
$\int f(x) \, dx$	integral indefinida de $f(x)$
$\int _a^b f(x) \, dx$	integral definida de $f(x)$ de $a$ até $b$

Funções de duas variáveis

$y=f (x,\ z)$	função de duas variáveis, em que $x$ e $z$ são elementos do conjunto domínio, e $y$ é um elemento do conjunto imagem
$\dfrac{\partial f}{\partial x} \text{ or }\dfrac{\partial y}{\partial x}$	derivada parcial de $f$ em relação a $x$ , mantendo $z$ constante
$\dfrac{\partial f}{\partial z}\text{ or }\dfrac{\partial y}{\partial z}$	derivada parcial de $f$ em relação a $z$ , mantendo $x$ constante
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$	segunda derivada parcial de $f$ em relação a $x$ , mantendo $z$ constante
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}$	segunda derivada parcial de $f$ em relação a $z$ , mantendo $x$ constante
$\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)$	derivada parcial mista; primeira derivada de $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ em relação a $z$
$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)$	derivada parcial mista; primeira derivada de $\dfrac{\partial f}{\partial z}$ em relação a $x$
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z} \text{ or }\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial x}$	derivada parcial mista quando $\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)$ e $\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)$ são iguais