Leibniz 2.7.1 Função de Produção

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

No modelo de economia agrícola apresentado no capítulo 2, a função de produção mostra como a produção de cereais depende do insumo trabalho — isto é, do número de fazendeiros trabalhando na terra. Vamos demonstrar como representar a função de produção matematicamente e descrever suas propriedades.

A função de produção de cereal é representada graficamente na Figura 1:

Função de produção do agricultor: produto médio do trabalho é decrescente.
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Figura 1 Função de produção do agricultor: produto médio do trabalho é decrescente.

Se é a quantidade do insumo trabalho (número de agricultores) e é a quantidade de cereal produzida (em quilogramas), podemos escrever a função de produção como:

pode ser qualquer função, mas deve ter certas propriedades para representar uma função de produção como a da figura. Primeiro, podemos observar que não há produção de cereal quando a quantidade de insumo é zero, e, se o insumo é maior que zero, a quantidade de cereal produzida é estritamente positiva:

Segundo, podemos notar que a função é crescente: isto é, se aumenta, também aumenta. Então sua inclinação, dada pela derivada da função, é positiva. Podemos escrever:

ou, de maneira equivalente:

Estas duas propriedades são típicas da maioria das funções de produção. Outra propriedade da função na figura é se tornar gradualmente mais plana à medida que aumenta, o que é o mesmo que dizer que a inclinação da função, , diminui à medida que aumenta. A diminuição da inclinação significa que a segunda derivada da função é negativa:

o que é equivalente a:

Leia mais: Seção 7.3 (especialmente página 127) e Seção 8.2 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.