Leibniz 3.1.1 Produtividade média e marginal

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

A função de produção de Alexei, representada graficamente na Figura 1, descreve como suas horas diárias de estudo se traduzem em nota final. Vimos que o produto marginal é dado pela inclinação da função em cada ponto, e o produto médio, pela inclinação do raio que parte da origem. Agora vamos ver como descrever matematicamente os produtos marginal e médio.

Como a quantidade de tempo de estudo afeta a nota final de Alexei?
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Figura 1 Como a quantidade de tempo de estudo afeta a nota final de Alexei?

Uma representação matemática geral desta relação é:

em que é a nota final (o produto de Alexei) e é o total de horas diárias de estudo (o insumo). é a função de produção.

produto médio
Produto total dividido por um fator de produção específico, por exemplo, por trabalhador (dividindo o produto total pelo número de trabalhadores) ou por trabalhador por hora (dividindo o produto total pelo número total de horas de trabalho empregadas).

Quando Alexei estuda horas por dia, seu produto médio do trabalho (PMeT) é calculado dividindo sua nota final pelo número de horas que ele dedicou aos estudos:

Este é o número médio de pontos na nota final por hora de estudo diária: no diagrama, é a inclinação do raio que parte da origem.

produto marginal
Quantidade adicional de produto obtida ao aumentar a quantidade de um fator de produção específico em uma unidade, mantendo constantes as quantidades de todos os outros fatores.

Definimos o produto marginal do trabalho (PMgT) de Alexei como o acréscimo na nota final que se obtém ao aumentar o tempo de estudo em uma hora. Mais precisamente, essa é a taxa pela qual sua nota aumenta à medida que o tempo de estudo cresce, o que corresponde à inclinação da função de produção.

Para ver esta correspondência, suponha que Alexei estuda horas por dia. Para encontrar seu produto marginal, consideramos como sua nota final se alteraria se ele aumentasse seu tempo de estudo em horas. Se a nota final aumentar em , então a variação na nota por unidade adicional de tempo de estudo é:

Como tende a zero, esta fração tende à derivada da função. Assim, podemos escrever:

que é a inclinação da função de produção. Em outras palavras, o produto marginal de Alexei quando ele estuda horas é dado pela derivada da função de produção:

Esta é a definição matemática de produto marginal. Nos próximos Leibnizes, iremos utilizar definições de quantidades marginais deste tipo. No Capítulo 2, calculamos o produto marginal descobrindo qual é o acréscimo no produto quando o insumo aumenta em uma unidade — o que é uma boa aproximação da definição de produto marginal se as unidades adicionais forem suficientemente pequenas. Por exemplo, na Figura 1, as unidades são as horas, e temos 24 horas no eixo horizontal. O aumento no produto quando o insumo aumenta em uma hora é, a grosso modo, uma aproximação da inclinação. No entanto, se utilizarmos minutos no eixo horizontal e calcularmos o aumento no produto quando o insumo aumenta em um minuto, a aproximação obtida seria então bastante próxima da inclinação desta função.

Exemplo

Uma função de produção com propriedades semelhantes às da função representada na Figura 1 é dada por:

em que e , constantes tais que e , determinam a localização exata e a curvatura da função de produção. Explicamos abaixo por que deve estar entre 0 e 1. Note que esta função tem as propriedades típicas de uma função de produção: quando e quando é positiva, o produto também é positivo.

A restrição garante que a função de produção é crescente para todo valor (dependendo do seu conhecimento sobre potências, talvez isto seja óbvio, mas iremos prová-lo abaixo ao mostrar que o produto marginal é positivo). Isto significa que a função não é uma reprodução exata da função na Figura 1, que é constante (plana) para .

Então, o produto médio do trabalho é:

O produto marginal do trabalho é a derivada da função de produção:

Note que podemos reescrever PMgT como:

Sabemos que, quando é positivo, é positivo também. Assim, nesta equação, você pode facilmente perceber que implica que o produto marginal do trabalho é positivo — em outras palavras, a nota final de Alexei aumenta à medida que o número de horas de estudo aumenta.

E a restrição ? Como o produto médio do trabalho é e o produto marginal do trabalho é , é a razão entre o produto marginal e o produto médio. Sendo assim, nossa premissa de que significa que o produto marginal do trabalho é menor do que o produto médio do trabalho. Você pode observar isto na Figura 1, ao comparar o PMgT (a inclinação da curva) e o PMeT (a inclinação do raio que parte da origem) mostrados no ponto em que .

Esta propriedade da função de produção implica que, não importa quantas horas de estudo Alexei escolha, o aumento na nota final que ele obtém com uma hora extra de estudo será menor do que a média de pontos na nota por hora de estudo obtida até então.

Leia mais: Seção 6.1 e Seção 6.4 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.