Leibniz 3.1.2 Produtividade marginal decrescente

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

A função de produção de Alexei tem como propriedade a produtividade marginal decrescente. Podemos observá-la graficamente: a curva se torna mais plana à medida que as horas de estudo por dia aumentam. O que isso significa em relação às propriedades matemáticas da função de produção?

Se a função de produção é , o produto marginal do trabalho é , então o produto marginal do trabalho diminui à medida que aumenta se:

ou, de modo equivalente:

Isto é, a segunda derivada da função de produção é negativa.

Exemplo

Considere novamente a função de produção:

em que e são constantes tais que e . No Leibniz 3.1.1, mostramos que, para esta função de produção:

que é positivo desde que as horas de estudo sejam positivas. O que vamos mostrar a seguir é que, à medida que as horas aumentam, este produto marginal passa a ser cada vez menor.

Uma maneira de verificar isto é analisando a expressão

é elevado ao expoente , que é negativo, uma vez que . Lembre-se que, pelas propriedades dos expoentes negativos, à medida que aumenta, diminui, e como e são positivos, também é , sendo esse o produto marginal do trabalho.

Por outro lado, podemos mostrar que o produto marginal é decrescente ao diferenciá-lo:

Quando é positivo, sabemos que também é positivo. Então, quando , , e portanto:

É isto que queríamos mostrar: a segunda derivada da função de produção é negativa, então o produto marginal cai à medida que aumenta. Em outras palavras, o produto marginal do trabalho é decrescente.

No Leibniz 3.1.1, mostramos que, quando , o produto marginal é menor do que o produto médio. Esta é uma propriedade intimamente relacionada ao conceito de produto marginal decrescente: se o produto marginal de uma função de produção é decrescente para todas as quantidades de insumos, então também é verdade que o produto marginal é menor do que o produto médio (PMg < PMe).

A Figura 2 mostra o gráfico da função de produção para o caso em que e , e também o gráfico do produto marginal do trabalho. Para cada valor de , o gráfico superior mostra o valor de , e o gráfico inferior mostra o valor da inclinação da função de produção, . Você pode observar que o produto marginal do trabalho diminui à medida que aumenta.

Função de produção y = 30h0,4 e o produto marginal correspondente.
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Figura 2 Função de produção y = 30h0,4 e o produto marginal correspondente.

Leia mais: Seções 6.4 e 8.4 de Pemberton e Rau (2016).