Leibniz 3.1.3 Funções côncavas e convexas

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

O conceito de produto marginal decrescente corresponde à propriedade matemática da concavidade. Ao observar os conceitos matemáticos de convexidade e concavidade, podemos compreender melhor as propriedades econômicas das funções de produção.

função côncava

Função de duas variáveis cujo segmento de reta entre dois pontos quaisquer se situa inteiramente abaixo da curva que representa a função (sendo a função convexa quando o segmento de reta se localiza acima da curva da função).

No Leibniz 3.1.2, vimos que, no caso da função de produção $y = Ah^\alpha$, com $A \gt 0$ e $0 \lt \alpha \lt 1$, o produto marginal do trabalho é decrescente. Isto significa que, quando nos movemos para a direita ao longo da curva da função de produção, a inclinação da curva diminui. Uma função com esta propriedade é chamada de côncava.

Uma implicação da concavidade (e de sua definição algébrica) é que “a função da média é maior que a média da função”. Para ilustrar o que esta frase quer dizer, suponha que, para uma função $f(h)$, tomamos dois valores quaisquer $h_0$ e $h_1$. Então:

$$f\left(\frac{h_0+h_1}{2}\right) \gt \frac{f(h_0)+f(h_1)}{2}$$

O lado esquerdo é a função da média dos dois valores, e o lado direito é a média das funções dos dois valores. (Para ver porque esta desigualdade é válida, tente desenhar uma função de produção côncava, escolhendo dois valores do eixo horizontal e encontrando os pontos do diagrama que correspondem às duas médias.)

Podemos dar uma interpretação econômica muito interessante a esta propriedade. Para entender seu significado, considere o seguinte exemplo.

Suponha que Alexei tenha uma função de produção como a que vimos acima, com $A = 20$ e $\alpha = 0,5$; isto é:

$$y = 20\sqrt{h}$$

Ele acabou de começar a faculdade e está considerando duas formas diferentes de organizar seu tempo. Como ainda não conhece ninguém, Alexei acha que seu primeiro período pode ser mais bem aproveitado fazendo amizades, de modo que sua média diária de horas de estudo para as provas finais do semestre seria $0$. Depois de se estabelecer socialmente, ele voltaria a estudar — com todas as forças — no segundo semestre, estudando $9$ horas por dia, todos os dias. Com sua função de produção, descobrimos que, nessas circunstâncias, as notas finais de Alexei seriam $20\sqrt{0} =0$ no exame do primeiro semestre e $20\sqrt{9} =60$ no segundo semestre. Seu resultado médio por exame seria, portanto, $\frac{1}{2}\times 0 + \frac{1}{2}\times 60=30$.

De outro modo, ele poderia se dedicar a sua vida social e a seus resultados acadêmicos de forma mais equilibrada, estudando $4,5$ horas por dia, todos os dias, em ambos os semestres. Note que, nesse caso, Alexei renuncia ao mesmo total de horas de tempo livre que no caso anterior — o total de insumo é o mesmo em ambos. Que nota final ele pode conseguir? Alexei obtém $20\sqrt{4,5} = 42,4$ em cada semestre, dando a ele $42,4$ pontos, em média, por exame.

Comparando essas duas estratégias possíveis, Alexei percebe que, em seu caso, equilíbrio e constância são uma ideia melhor, porque seu produto total é maior quando as horas de estudo são constantes do que quando variam. Esta é a implicação econômica da concavidade.

Em contrapartida, se tivéssemos assumido que $\alpha \gt 1$, teríamos concluído que o produto total é maior quando as horas variam: neste caso, Alexei aprende mais quando estuda mais intensamente por um período mais curto. Quando $\alpha \gt 1$, a inclinação da curva da função de produção aumenta à medida que as horas aumentam, então o produto marginal é crescente e não decrescente, como na Figura 3, em que $\alpha =1,6$. Esta função seria descrita como convexa ao invés de côncava. Um caso especial é a função $y=Ah^2$: ao diferenciá-la, você pode verificar que, para esta função de produção, a curva do produto marginal do trabalho é uma reta inclinada para cima.

Leia mais: Seção 8.4 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.