Leibniz 3.2.1 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

Alexei valoriza suas notas e seu tempo livre. Vimos que suas preferências podem ser representadas graficamente por curvas de indiferença, e que sua propensão a trocar pontos na nota por tempo livre — sua taxa marginal de substituição — é representada pela inclinação da curva de indiferença. Neste Leibniz, mostramos como representar suas preferências matematicamente.

utilidade

Indicador numérico do valor que alguém atribui a um resultado, de tal forma que os resultados de maior valor serão escolhidos em detrimento dos de menor valor quando ambos estiverem disponíveis.

Lembre-se de que uma curva de indiferença reúne combinações de pontos na nota e tempo livre que dão a mesma quantidade de utilidade a Alexei. Preferências podem ser representadas matematicamente por funções de utilidade, que nos dizem como as “unidades de utilidade” de uma pessoa variam com a quantidade de bens disponíveis. Alexei valoriza apenas dois bens: suas horas de tempo livre e suas notas nas provas. Se ele tem $t$ unidades de tempo livre e $y$ pontos na nota, sua utilidade é dada pela função:

$$U(t,\ y)$$

Como tanto nota final quanto tempo livre são bens — Alexei gostaria de ter tanto quanto possível de cada um — a função de utilidade deve ter a propriedade de que $U$ aumenta se $t$ ou $y$ aumenta. Nesse caso, dizemos que a utilidade depende positivamente de $t$ e $y$.

curva de indiferença

Curva dos pontos correspondentes às combinações de bens que fornecem determinado nível de utilidade ao indivíduo.

A função de utilidade de Alexei tem dois argumentos. Assim como uma função de uma variável pode ser representada graficamente por uma curva em um plano, uma função de duas variáveis pode ser representada por uma superfície em um espaço tridimensional. Como é difícil lidar com diagramas tridimensionais, os economistas analisam a utilidade graficamente com a mesma técnica que é usada para representar o espaço tridimensional em que vivemos: o mapa de contorno. Contornos são como as linhas que unem pontos de mesma altura acima do nível do mar. De maneira semelhante, curvas de indiferença são os contornos da superfície de utilidade, unindo pontos com mesmo valor de utilidade.

No caso de Alexei, uma curva de indiferença mostra todas as combinações de tempo livre e notas nas provas que dão a ele o mesmo nível de utilidade. A equação de uma curva de indiferença típica é:

$$U(t,\ y)=c$$

em que a constante $c$ indica o nível de utilidade alcançado na curva. Diferentes valores de $c$ correspondem a diferentes curvas de indiferença: se aumentarmos $c$, obtemos uma nova curva de indiferença, localizada acima e à direita da curva anterior. Na Figura 3.6 do texto, você pode observar três das curvas de indiferença de Alexei, reproduzidas na Figura 1 abaixo.

A taxa marginal de substituição

Para qualquer combinação $(t,\ y)$ de tempo livre e notas, a taxa marginal de substituição (TMS) de Alexei (isto é, sua propensão a trocar pontos na nota por uma hora extra de tempo livre) é dada pela inclinação da curva de indiferença $U(t,\ y)=c$ no ponto correspondente à combinação.

Como podemos calcular a inclinação da curva de indiferença $U(t,\ y)=c$?

Para fazer isso, precisamos usar as derivadas parciais da função de utilidade. Por exemplo, $\partial U/\partial t$ capta como a utilidade varia à medida que $(t)$ aumenta se $y$ for mantida constante. Em economia, a derivada parcial $\partial U/\partial t$ é chamada de utilidade marginal do tempo livre. Da mesma forma, $\partial U/\partial y$ é a utilidade marginal dos pontos na nota. Já vimos que a utilidade depende positivamente de $t$ e $y$. Em outras palavras, ambas as utilidades marginais de Alexei são positivas.

Calculamos a inclinação da curva de indiferença utilizando uma técnica chamada de derivação implícita, que veremos nos Leibnizes subsequentes. Em nosso exemplo, o método envolve considerar como as notas nas provas teriam que variar se o tempo livre aumentasse em uma pequena quantidade, a fim de manter a utilidade constante.

Suponha que $t$ e $y$ variam a pequenas quantidades, dadas por $\Delta t$ e $\Delta y$, respectivamente. A fórmula diferencial para funções de duas variáveis fornece uma aproximação da variação na utilidade $\Delta U$, expressando-a como a soma de um “efeito tempo livre” e de um “efeito notas nas provas”:

$$\Delta U \approx \frac{\partial U}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial U}{\partial y} \Delta y$$

Se as variações $\Delta t$ e $\Delta y$ são tais que Alexei permanece na mesma curva de indiferença, então sua utilidade não varia; logo, $\Delta U = 0$, o que implica que

$$\frac{\partial U}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial U}{\partial y} \Delta y \approx 0$$

Rearranjando,

$$\frac{ \Delta y}{\Delta t} \approx - \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right.$$

As variações $\Delta t$ e $\Delta y$ produzem, juntas, um pequeno movimento ao longo da curva de indiferença. Assim, se tomarmos o limite quando $\Delta t\to 0$, o lado esquerdo se aproxima da inclinação daquela curva, e a aproximação se torna uma equação.

Portanto, a inclinação da curva de indiferença em qualquer ponto $(t,\ y)$ é dada pela seguinte fórmula:

$$\frac{dy}{dt} = -\frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right.$$

taxa marginal de substituição (TMS)

Trata-se do trade-off que uma pessoa está disposta a enfrentar quando deve escolher entre dois bens. Em qualquer ponto, essa é a inclinação da curva de indiferença. Veja também: taxa marginal de transformação.

O lado direito desta equação é negativo, uma vez que ambas as utilidades marginais são positivas: aumentar o tempo livre ou a nota nas provas aumenta a utilidade de Alexei. Logo, as curvas de indiferença são inclinadas para baixo, como mostra o diagrama. Para evitar confusões, geralmente definimos a taxa marginal de substituição (TMS) como o valor absoluto da inclinação da curva em determinado ponto. Então:

$$\text{TMS} = \left| \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. \right|$$

ou, em outras palavras,

$$\text{taxa marginal de substituição} = \left| \frac{\text{utilidade marginal do tempo livre}}{\text{utilidade marginal da nota nas provas}} \right|$$

Definir a TMS como um número positivo nos permite afirmar, por exemplo, que o valor absoluto da TMS é maior (Alexei está mais propenso a trocar pontos na nota por tempo livre) nos pontos em que a curva de indiferença é mais inclinada, de modo que a inclinação da curva de indiferença é mais negativa nestes pontos.

A TMS é a taxa pela qual Alexei está disposto a trocar pontos na nota por horas adicionais de tempo livre. A equação acima, que expressa a TMS como uma razão entre as utilidades marginais, pode ser interpretada da seguinte forma: a TMS é aproximadamente igual à divisão da utilidade extra proporcionada por uma unidade adicional de tempo livre pela utilidade extra proporcionada por um ponto adicional na nota. Como é comum ao interpretar enunciados de cálculo em termos de unidades individuais, a aproximação é considerada adequada se as unidades forem pequenas o suficiente.

Preferências convexas

As curvas de indiferença da Figura 1 se tornam mais planas (em outras palavras, menos inclinadas) à medida que nos movemos para a direita:

taxa marginal de substituição (TMS)

Trata-se do trade-off que uma pessoa está disposta a enfrentar quando deve escolher entre dois bens. Em qualquer ponto, essa é a inclinação da curva de indiferença. Veja também: taxa marginal de transformação.

A TMS de Alexei cai se seu tempo livre aumenta e suas notas diminuem de tal forma que sua utilidade se mantém constante. Esta propriedade das preferências de Alexei é conhecida como taxa marginal decrescente de substituição e geralmente é assumida quando desenhamos curvas de indiferença entre dois bens.

Outra forma de descrever esta premissa é afirmar que as curvas de indiferença de Alexei são convexas. Em termos algébricos, se reescrevermos a equação de uma curva de indiferença $U(t,\ y)=c$ na forma $y=g(t,\ c)$, então $g(t,\ c)$ é uma função decrescente e convexa de $t$ para dado $c$. Dizemos que Alexei tem preferências convexas.

Uma pessoa que tem preferências convexas sempre prefere uma combinação de quantidades dos dois bens em detrimento de quantidades extremas de cada bem. Se traçarmos uma reta entre dois pontos da mesma curva de indiferença, cada um dos pontos na reta será uma combinação dos dois pontos nas suas extremidades. Quando as curvas de indiferença são convexas, todos os pontos da reta que une dois pontos pertencentes à curva fornecem maior utilidade do que estes pontos extremos.

Na próxima seção, daremos um exemplo de uma função de utilidade que apresenta TMS decrescente.

Leia mais: Seções 14.2 (para a fórmula diferencial) e 15.1 (para contornos e diferenciação implícita) de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.

Exemplo: a função de utilidade de Cobb-Douglas

Nesta seção, examinaremos uma função de utilidade que é frequentemente utilizada em modelagem econômica. Vamos derivar expressões para as utilidades marginais e para a taxa marginal de substituição, e também verificar suas propriedades.

Como vimos anteriormente, Alexei valoriza seu tempo livre e suas notas nas provas. Suponha que sua função de utilidade seja:

$$U (t,\ y)= t^\alpha y^\beta$$

em que $\alpha$ e $\beta$ são constantes positivas. Esta função tem algumas propriedades matemáticas bastante convenientes, e é chamada de função de Cobb-Douglas devido aos dois pesquisadores que introduziram seu uso em economia.

Para encontrar as utilidades marginais do tempo livre e das notas nas provas, devemos encontrar as derivadas parciais da função de utilidade. Diferenciando $U$ em relação a $t$, vemos que a utilidade marginal do tempo livre é:

$$\frac{\partial U}{\partial t} = \alpha t^{\alpha -1} y^\beta$$

Sabemos, a partir da função de utilidade, que $t^{\alpha -1} y^\beta = U/t$, o que nos dá uma versão mais simples da utilidade marginal do tempo livre:

$$\frac{\partial U}{\partial t} = \frac{\alpha U}{t}$$

Da mesma forma, a utilidade marginal das notas nas provas é:

$$\frac{\partial U}{\partial y} = \beta t^{\alpha} y^{\beta-1} = \frac{\beta U}{y}$$

Note que, quando $t$ e $y$ são positivas, $U$ também é. Por isso, a hipótese de que $\alpha$ também seja positiva implica que $\partial U/\partial t \gt0$. De modo semelhante, $\beta\gt0$ implica que $\partial U/\partial y \gt0$. Em outras palavras, assumir que $\alpha$ e $\beta$ são ambas positivas nos garante, a grosso modo, que “ter mais bens é bom”: a utilidade de Alexei aumenta conforme o tempo livre ou a nota aumentam.

Na seção anterior, definimos a taxa marginal de substituição (TMS) entre tempo livre e pontos na nota como sendo o valor absoluto da inclinação da curva de indiferença, e mostramos que este é igual à razão entre utilidade marginal do tempo livre e utilidade marginal de pontos na nota. Com a função de utilidade de Cobb-Douglas:

$$\text{TMS} = \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. = \frac{\alpha U}{t} \left/ \frac{\beta U}{y} \right. = \frac{\alpha y}{\beta t}$$

As curvas de indiferença são inclinadas para baixo em $(t,\ y)$, então, à medida que nos movemos para a direita ao longo da curva de indiferença, $t$ aumenta e $y$ diminui, portanto $y/t$ diminui. Como $\alpha$ e $\beta$ são positivas, a TMS também diminui. Logo, a função de utilidade de Cobb-Doulas implica que a TMS é decrescente.

Leia mais: Seções 15.1 e 15.2 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.