Leibniz 3.4.1 Taxa marginal de transformação
Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.
A decisão de quanto Alexei irá estudar é restrita pelo conjunto factível de combinações de tempo livre e pontos na nota. Assim, ele enfrenta um trade-off: para conseguir boas notas ao final de seu curso, Alexei tem que abrir mão de um pouco de tempo livre. A taxa marginal de transformação (TMT) mede o tamanho do trade-off. Neste Leibniz, mostraremos como a TMT pode ser calculada a partir da função de produção.
A equação da fronteira de possibilidades
A Figura 1 mostra o conjunto de possibilidades de Alexei. Lembre-se de que construímos a fronteira de possibilidades utilizando uma função de produção que relaciona notas nas provas a horas de estudo.
Figura 1 Como a escolha de quanto tempo estudar afeta as notas de Alexei?
Para determinar matematicamente a fronteira de possibilidades, definimos que a função de Alexei seja (como visto antes):
em que é seu produto (nota) e , suas horas de estudo. é uma função crescente.
A fronteira de possibilidades é a relação entre nota final e tempo livre. Se Alexei tem horas de tempo livre, suas horas de estudo são dadas por:
Substituindo esta expressão na função de produção, obtemos a equação da fronteira de possibilidades:
Calculando a taxa marginal de transformação
Utilizando diagramas, vimos que a TMT está relacionada à inclinação da fronteira de possibilidades. Ao diferenciar a equação que a define, podemos encontrar sua inclinação. Quando Alexei tem horas de tempo livre, a taxa pela qual sua nota final varia conforme seu tempo livre aumenta é dada por:
que é obtida utilizando a regra da função composta (geralmente chamada de regra da cadeia). Simplificando-a, temos:
O lado direito desta equação é negativo, uma vez que é uma função crescente. Portanto, a fronteira é inclinada para baixo, como mostra o diagrama. A inclinação da fronteira de possibilidades no ponto é , uma quantidade negativa.
- taxa marginal de transformação (TMT)
- Quantidade de um bem que deve ser sacrificada para adquirir uma unidade adicional de outro bem. Em qualquer ponto, é a inclinação da fronteira de possibilidades. Veja também: taxa marginal de substituição.
A inclinação negativa nos mostra que a nota final diminui à medida que o tempo livre aumenta. A taxa marginal de transformação (TMT) é a taxa pela qual a nota aumenta conforme o tempo livre é sacrificado, dada pelo valor absoluto da inclinação, uma quantidade positiva:
O significado da TMT é o seguinte: se o tempo livre aumentar em uma pequena quantidade, digamos, horas, a nota final diminui em aproximadamente pontos na nota. Ou, se o tempo livre diminuir em horas, a nota final aumenta em aproximadamente pontos na nota. A Figura 2 mostra a fronteira de possibilidades para a função de produção (cuja forma é semelhante, mas não idêntica, à da fronteira de possibilidades de Alexei). O painel inferior exibe a TMT, que cresce à medida que nos movemos para a direita ao longo da fronteira, direção na qual o tempo livre aumenta e a nota final diminui.
Em resumo, a TMT mede a taxa à qual pontos na nota têm que ser sacrificados para obter mais horas de tempo livre, e pode ser encontrada ao simplesmente diferenciar a função de produção. Uma vez que o número de horas de estudo é igual a , a TMT é igual ao produto marginal do trabalho . O fato de que a TMT aumenta à medida que nos movemos ao longo da fronteira, em direção a mais tempo livre e menos horas de estudo, é uma consequência dos retornos decrescentes do trabalho: como é uma função decrescente de , seu valor aumenta quando diminui.
Figura 2 A fronteira de possibilidades e a taxa marginal de transformação correspondente.
