Leibniz 3.7.1 Matemática dos efeitos renda e substituição

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

Vimos que, quando você está decidindo quantas horas quer trabalhar por dia, o efeito de uma variação na sua taxa salarial sobre sua decisão pode ser decomposto graficamente em efeito renda e efeito substituição. Este Leibniz mostra matematicamente como fazer esta decomposição.

Elaboramos um modelo de escolha da jornada de trabalho supondo que você escolhe seu consumo $c$ e horas de tempo livre $t$ com o objetivo de maximizar sua utilidade, dado que seu consumo depende da renda do seu trabalho. Matematicamente, isto pode ser descrito como um problema de otimização com restrição:

$$\begin{align*}\text{maximizar}\ U(t,\ c) \text{ sujeito a}\ c=w(24-t)+I \end{align*}$$

em que $w$ é seu salário-hora e $I$, a renda que não depende de suas horas de trabalho (por exemplo, a renda proveniente de um benfeitor misterioso).

Vamos resolver este problema para determinada função de utilidade

$$U(t,\ c) = tc$$

a fim de encontrar a escolha ótima de tempo livre. Assim, podemos descobrir como a solução varia à medida que o salário-hora $w$ muda, e decompor a variação em efeito renda e efeito substituição.

A condição de primeira ordem para a otimização iguala a taxa marginal de transformação (TMT) à taxa marginal de substituição (TMS). Como vimos no texto, a sua TMT é $w$. Para ver claramente o porquê disso, lembre-se de que a restrição orçamentária $c=w(24-t)+I$ é a equação da fronteira de possibilidades. A TMT é o valor absoluto da inclinação da fronteira de possibilidades:

$$\text{TMT} = \left|\frac{dc}{dt}\right|=w$$

A TMS pode ser calculada utilizando a fórmula que vimos nos Leibnizes anteriores:

$$\text{TMS} = \left| \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial c} \right.\right| = \frac{c}{t}$$

Então, neste caso, a condição de primeira ordem TMS = TMT resulta em $c/t=w$, ou, de modo equivalente, em $wt-c=0$. Os valores ótimos de $t$ e $c$ são encontrados ao resolvermos um par de equações simultâneas, a condição de primeira ordem e a restrição orçamentária:

$$wt - c = 0,\ \ c = w\left( 24 - t \right) + I$$

A solução é:

$$t = 12 + \frac{I}{2w}, \quad c = 12w + \frac{I}{2}$$

Portanto, o número ótimo de horas de tempo livre é uma função do salário-hora e da renda adicional, com as seguintes derivadas parciais:

$$\frac{\partial t}{\partial w} = - \frac{I}{2w^2} \lt0 , \quad \frac{\partial t}{\partial I} = \frac{1}{2w} \gt0$$

Essas duas derivadas parciais nos dizem como as horas de tempo livre escolhidas irão variar se o salário-hora ou a renda adicional se alterarem. A desigualdade $\partial t/\partial I \gt0$ nos mostra que, com essa função de utilidade, o tempo livre $t$ aumenta se a renda independente do trabalho $I$ aumentar e o salário-hora não se alterar. Por meio de $\partial t/\partial w\lt0$, verificamos que $t$ diminui se $w$ aumenta e a renda independente do trabalho não varia.

Em outras palavras, o efeito total de um aumento no salário-hora com a renda adicional $I$ constante, dado por $\partial t/\partial w$, é negativo. Este efeito total pode ser decomposto em efeito renda e efeito substituição. Veremos como decompor no exemplo numérico abaixo.

Exemplo numérico

Suponha que $w = 16$ e $I= 160$. Substituindo esses valores nas equações que solucionam o problema acima, descobrimos que a escolha ótima de horas de tempo livre e a quantia destinada ao consumo é:

$$t_0 = 12 + \frac{160}{2 \times 16} =17, \quad c_0 = 12 \times 16 + \frac{160}{2} = 272$$

O nível de utilidade é $U_0=t_0 \times c_0 =17 \times 272 = 4.624$.

Agora, suponha que o salário-hora aumenta para 25, enquanto a renda extra permanece em 160. Primeiro, iremos encontrar o efeito total do aumento do salário sobre a escolha de tempo livre e, então, vamos decompô-lo.

1. Qual é o efeito total do aumento no salário-hora?

Com $w=25$ e $I=160$, a escolha ótima de $t$ e $c$ é:

$$t_1 = 12 + \frac{160}{2 \times 25} =15,2, \quad c_1 = 12 \times 25 + \frac{160}{2} = 380$$

O nível de utilidade aumenta para $U_1=15,2 \times 380 = 5.776$.

Podemos ver que o efeito total de um aumento de 16 para 25 no salário-hora, mantendo a renda adicional em 160, é reduzir o tempo livre:

$$t_1-t_0=15,2-17=-1,8$$

2. Qual variação na renda extra teria o mesmo efeito que o aumento de salário-hora sobre a utilidade?

Suponha que o salário-hora tivesse permanecido em $w=16$, mas a renda tivesse passado de 160 para $J$. Para chegar ao nível de utilidade de 5.776, $J$ deve satisfazer a equação:

$$\left(12 + \frac{J}{32}\right)\left(192 + \frac{J}{2}\right) = 5.776$$

Podemos escrever esta equação como $(384 + J)^2 = 64 \times 5.776$. Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados (note que apenas a raiz quadrada positiva tem sentido econômico), obtemos $384 + J = 608$, e assim, $J=224$.

Portanto, aumentar a renda adicional de 160 para 224 mantendo o salário-hora em 16 teria o mesmo efeito sobre a utilidade que um aumento de 16 para 25 no salário-hora.

3. Encontre o efeito renda

Para encontrar o efeito renda, devemos descobrir como a variação na renda que equivale à variação de salário afetaria a escolha de tempo livre.

O aumento levaria a renda extra a 224 e, com o salário-hora em 16, a escolha ótima de horas de tempo livre seria:

$$t_2 = 12 + \frac{224}{2 \times 16} =19$$

Isto nos dá o efeito renda de um aumento no salário-hora. Este aumento eleva a utilidade a 5.776. Se esta elevação tivesse sido causada por um aumento na renda extra, as horas de tempo livre teriam passado de $t_0=17$ para $t_2=19$. O efeito renda é $t_2-t_0=19-17=+2$.

4. Encontre o efeito de substituição

O efeito total do aumento no salário-hora é a variação de $t_0$ para $t_1$ no tempo livre. Isto é, o efeito total é a soma do efeito renda (a variação de $t_0$ para $t_2$) e do efeito substituição que, por sua vez, é a variação de $t_2$ to $t_1$.

Efeito renda	$t_2-t_0=+2$
Efeito substituição	$t_1-t_2=-3,8$
Efeito total	$t_1-t_0=-1,8$

O efeito substituição é o efeito de um aumento de 16 para 25 no salário-hora sobre a escolha de tempo livre se ajustarmos a renda adicional para que a utilidade permaneça constante, em 4.624.

Leia mais: Seções 14.1, 17.1 e 17.3 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.