Leibniz 3.7.1 Matemática dos efeitos renda e substituição
Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.
Vimos que, quando você está decidindo quantas horas quer trabalhar por dia, o efeito de uma variação na sua taxa salarial sobre sua decisão pode ser decomposto graficamente em efeito renda e efeito substituição. Este Leibniz mostra matematicamente como fazer esta decomposição.
Elaboramos um modelo de escolha da jornada de trabalho supondo que você escolhe seu consumo e horas de tempo livre com o objetivo de maximizar sua utilidade, dado que seu consumo depende da renda do seu trabalho. Matematicamente, isto pode ser descrito como um problema de otimização com restrição:
em que é seu salário-hora e , a renda que não depende de suas horas de trabalho (por exemplo, a renda proveniente de um benfeitor misterioso).
Vamos resolver este problema para determinada função de utilidade
a fim de encontrar a escolha ótima de tempo livre. Assim, podemos descobrir como a solução varia à medida que o salário-hora muda, e decompor a variação em efeito renda e efeito substituição.
A condição de primeira ordem para a otimização iguala a taxa marginal de transformação (TMT) à taxa marginal de substituição (TMS). Como vimos no texto, a sua TMT é . Para ver claramente o porquê disso, lembre-se de que a restrição orçamentária é a equação da fronteira de possibilidades. A TMT é o valor absoluto da inclinação da fronteira de possibilidades:
A TMS pode ser calculada utilizando a fórmula que vimos nos Leibnizes anteriores:
Então, neste caso, a condição de primeira ordem TMS = TMT resulta em , ou, de modo equivalente, em . Os valores ótimos de e são encontrados ao resolvermos um par de equações simultâneas, a condição de primeira ordem e a restrição orçamentária:
A solução é:
Portanto, o número ótimo de horas de tempo livre é uma função do salário-hora e da renda adicional, com as seguintes derivadas parciais:
Essas duas derivadas parciais nos dizem como as horas de tempo livre escolhidas irão variar se o salário-hora ou a renda adicional se alterarem. A desigualdade nos mostra que, com essa função de utilidade, o tempo livre aumenta se a renda independente do trabalho aumentar e o salário-hora não se alterar. Por meio de , verificamos que diminui se aumenta e a renda independente do trabalho não varia.
Em outras palavras, o efeito total de um aumento no salário-hora com a renda adicional constante, dado por , é negativo. Este efeito total pode ser decomposto em efeito renda e efeito substituição. Veremos como decompor no exemplo numérico abaixo.
Exemplo numérico
Suponha que e . Substituindo esses valores nas equações que solucionam o problema acima, descobrimos que a escolha ótima de horas de tempo livre e a quantia destinada ao consumo é:
O nível de utilidade é .
Agora, suponha que o salário-hora aumenta para 25, enquanto a renda extra permanece em 160. Primeiro, iremos encontrar o efeito total do aumento do salário sobre a escolha de tempo livre e, então, vamos decompô-lo.
1. Qual é o efeito total do aumento no salário-hora?
Com e , a escolha ótima de e é:
O nível de utilidade aumenta para .
Podemos ver que o efeito total de um aumento de 16 para 25 no salário-hora, mantendo a renda adicional em 160, é reduzir o tempo livre:
2. Qual variação na renda extra teria o mesmo efeito que o aumento de salário-hora sobre a utilidade?
Suponha que o salário-hora tivesse permanecido em , mas a renda tivesse passado de 160 para . Para chegar ao nível de utilidade de 5.776, deve satisfazer a equação:
Podemos escrever esta equação como . Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados (note que apenas a raiz quadrada positiva tem sentido econômico), obtemos , e assim, .
Portanto, aumentar a renda adicional de 160 para 224 mantendo o salário-hora em 16 teria o mesmo efeito sobre a utilidade que um aumento de 16 para 25 no salário-hora.
3. Encontre o efeito renda
Para encontrar o efeito renda, devemos descobrir como a variação na renda que equivale à variação de salário afetaria a escolha de tempo livre.
O aumento levaria a renda extra a 224 e, com o salário-hora em 16, a escolha ótima de horas de tempo livre seria:
Isto nos dá o efeito renda de um aumento no salário-hora. Este aumento eleva a utilidade a 5.776. Se esta elevação tivesse sido causada por um aumento na renda extra, as horas de tempo livre teriam passado de para . O efeito renda é .
4. Encontre o efeito de substituição
O efeito total do aumento no salário-hora é a variação de para no tempo livre. Isto é, o efeito total é a soma do efeito renda (a variação de para ) e do efeito substituição que, por sua vez, é a variação de to .
Efeito renda | |
Efeito substituição | |
Efeito total |
O efeito substituição é o efeito de um aumento de 16 para 25 no salário-hora sobre a escolha de tempo livre se ajustarmos a renda adicional para que a utilidade permaneça constante, em 4.624.
Leia mais: Seções 14.1, 17.1 e 17.3 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.