Leibniz 5.4.2 A escolha de horas de trabalho de Ângela

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

Ângela tem preferências quasilineares em relação a tempo de trabalho e cereal. Neste Leibniz, analisamos as escolhas que ela faz como agricultora independente. Ela escolhe suas horas de trabalho para maximizar sua utilidade, sendo que, por meio de sua função de produção, a quantidade de cereal produzida depende de quanto ela trabalha.

Ângela é uma agricultora que divide seu dia entre trabalho e tempo livre. Seu trabalho produz cereal, bem que ela também consome. Suas horas diárias de tempo livre são denotadas por $t$, e o número de alqueires de cereal que consome por dia é dado por $c$. Assumimos que Ângela tem preferências quasilineares representadas, assim como no Leibniz 5.4.1, pela função de utilidade:

$$U(t,\ c) = v(t) + c$$

onde a função $v$ é crescente e côncava. Lembre-se que a taxa marginal de substituição (TMS) da agricultora é $v'(t)$.

Suponha que a quantidade de cereal $c$ que Ângela pode produzir e consumir por dia em função de seu tempo livre $t$ seja:

$$c=g(t)$$

Em outras palavras, esta é sua fronteira de possibilidades. Observe que a notação é ligeiramente diferente da que usamos antes. Anteriormente, começamos com a função de produção $f(h)$, que relaciona produto com horas de trabalho, de modo que a fronteira de possibilidades foi escrita como $c=f(24-t)$.

Uma vez que a fronteira de possibilidades deve ser inclinada para baixo, sabemos que $g'(t)\lt0$. O valor absoluto da inclinação da fronteira, ou taxa marginal de transformação (TMT), é $-g'(t)$. Para que a fronteira tenha o típico formato côncavo determinado pelos retornos marginais decrescentes das horas de trabalho, precisamos que $g''(t)\lt0$.

O problema de otimização com restrição que Ângela deve resolver é escolher $t$ e $c$ para maximizar a função $v(t) + c$, sujeita à restrição $c =g(t)$.

A condição de primeira ordem para problemas de otimização pode ser encontrada aplicando a fórmula usual $\text{TMT}=\text{TMS}$ (relembre o Leibniz 3.5.1) ou por substituição, que nesse caso significa escolher $t$ para maximizar $v(t) + g(t)$. De qualquer forma, obtemos a equação:

$$v'(t) + g'(t)=0$$

Uma vez que $v''(t)$ e $g''(t)$ são ambos negativos, o lado esquerdo é uma função decrescente de $t$. Podemos deduzir que existe apenas um valor de $t$ que satisfaz esta equação. Esta é a escolha ótima de tempo livre de Ângela, que chamaremos de $t^*$. A produção e o consumo ótimos são encontrados a partir da fronteira de possibilidades: $c^* = g(t^*)$. Esta alocação ótima é representada pelo ponto P na Figura 1 abaixo. A curva azul é uma curva de indiferença e a curva vermelha é a fronteira de possibilidades de Ângela.

Exemplo

Vamos ilustrar a análise acima utilizando funções de utilidade e de produção específicas. Suponha que, na função de utilidade quasilinear de Ângela $U(t,\ c) = v(t) + c ,$ a função $v(t)$ seja dada por:

$$v(t) = 4\sqrt{t}$$

Este é um caso particular do exemplo de utilidade quasilinear que descrevemos no Leibniz 5.4.1: $U(t,\ c)= b t^\alpha+c$, onde $b=4$ e $\alpha= 1/2$.

Além disso, assuma que a função de produção de Ângela seja $y=2\sqrt{2h}$, onde $h$ são suas horas de trabalho. Se ela tem $24$ horas por dia para alocar entre trabalho e tempo livre, então $h + t =24$, e a equação da sua fronteira de possibilidades é $y=g(t) ,$ onde:

$$g(t) = 2\sqrt{48 -2t}$$

Você pode verificar que a fronteira de possibilidades é côncava ($g'(t)\lt0$) e inclinada para baixo ($g''(t)\lt0$).

Como vimos acima, podemos encontrar as taxas marginais de transformação e de substituição a partir das derivadas de $g$ e $v$:

$$\text{TMT} = -g'(t) = \frac{2}{\sqrt{48 -2t}}, \quad \text{TMS} = v'(t) = \frac{2}{\sqrt{t}}$$

$\\\\$Na alocação ótima, $\text{TMT} = \text{TMS}$, então $48 -2t = t$. Assim, Ângela escolhe ter $16$ horas de tempo livre por dia e trabalhar $8$ horas. Pela função de produção, seu consumo diário de cereal é de $2\sqrt{2 \times 8} = 8$ alqueires.

Leia mais: Seções 17.1 a 17.3 de Malcolm Pemberton e Nicholaus Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.