Leibniz 5.4.2 A escolha de horas de trabalho de Ângela
Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.
Ângela tem preferências quasilineares em relação a tempo de trabalho e cereal. Neste Leibniz, analisamos as escolhas que ela faz como agricultora independente. Ela escolhe suas horas de trabalho para maximizar sua utilidade, sendo que, por meio de sua função de produção, a quantidade de cereal produzida depende de quanto ela trabalha.
Ângela é uma agricultora que divide seu dia entre trabalho e tempo livre. Seu trabalho produz cereal, bem que ela também consome. Suas horas diárias de tempo livre são denotadas por , e o número de alqueires de cereal que consome por dia é dado por . Assumimos que Ângela tem preferências quasilineares representadas, assim como no Leibniz 5.4.1, pela função de utilidade:
onde a função é crescente e côncava. Lembre-se que a taxa marginal de substituição (TMS) da agricultora é .
Suponha que a quantidade de cereal que Ângela pode produzir e consumir por dia em função de seu tempo livre seja:
Em outras palavras, esta é sua fronteira de possibilidades. Observe que a notação é ligeiramente diferente da que usamos antes. Anteriormente, começamos com a função de produção , que relaciona produto com horas de trabalho, de modo que a fronteira de possibilidades foi escrita como .
Uma vez que a fronteira de possibilidades deve ser inclinada para baixo, sabemos que . O valor absoluto da inclinação da fronteira, ou taxa marginal de transformação (TMT), é . Para que a fronteira tenha o típico formato côncavo determinado pelos retornos marginais decrescentes das horas de trabalho, precisamos que .
O problema de otimização com restrição que Ângela deve resolver é escolher e para maximizar a função , sujeita à restrição .
A condição de primeira ordem para problemas de otimização pode ser encontrada aplicando a fórmula usual (relembre o Leibniz 3.5.1) ou por substituição, que nesse caso significa escolher para maximizar . De qualquer forma, obtemos a equação:
Uma vez que e são ambos negativos, o lado esquerdo é uma função decrescente de . Podemos deduzir que existe apenas um valor de que satisfaz esta equação. Esta é a escolha ótima de tempo livre de Ângela, que chamaremos de . A produção e o consumo ótimos são encontrados a partir da fronteira de possibilidades: . Esta alocação ótima é representada pelo ponto P na Figura 1 abaixo. A curva azul é uma curva de indiferença e a curva vermelha é a fronteira de possibilidades de Ângela.
Figura 1 A escolha de tempo livre e de cereal de Ângela como agricultora independente.
Exemplo
Vamos ilustrar a análise acima utilizando funções de utilidade e de produção específicas. Suponha que, na função de utilidade quasilinear de Ângela a função seja dada por:
Este é um caso particular do exemplo de utilidade quasilinear que descrevemos no Leibniz 5.4.1: , onde e .
Além disso, assuma que a função de produção de Ângela seja , onde são suas horas de trabalho. Se ela tem horas por dia para alocar entre trabalho e tempo livre, então , e a equação da sua fronteira de possibilidades é onde:
Você pode verificar que a fronteira de possibilidades é côncava () e inclinada para baixo ().
Como vimos acima, podemos encontrar as taxas marginais de transformação e de substituição a partir das derivadas de e :
Na alocação ótima, , então . Assim, Ângela escolhe ter horas de tempo livre por dia e trabalhar horas. Pela função de produção, seu consumo diário de cereal é de alqueires.
Leia mais: Seções 17.1 a 17.3 de Malcolm Pemberton e Nicholaus Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.