Leibniz 5.7.1 A escolha de horas de trabalho de Ângela quando paga pelo uso da terra

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

No Leibniz 5.4.2, resolvemos o problema de otimização com restrição de Ângela para as decisões que ela toma como agricultora independente. Agora vamos observar o caso em que Bruno é o proprietário da terra e, para produzir cereal, Ângela precisa pagar para cultivá-la. Veremos que as preferências quasilineares de Ângela têm uma implicação importante para os efeitos deste pagamento em suas decisões.

Assim como antes, as preferências de Ângela são representadas por uma função de utilidade quasilinear:

$$U(t,\ c) = v(t) + c$$

onde $t$ representa suas horas diárias de tempo livre, e $c$ o número de alqueires de cereal que ela consome por dia. A função $v$ é crescente e côncava. Sua fronteira de possibilidades mostra como o número de alqueires de cereal $y$, que Ângela pode consumir por dia depende do tempo livre que ela escolhe ter.

Quando Ângela era uma agricultora independente, podia consumir todo o cereal que produzia. Sua fronteira de possibilidades era $c=g(t)$, onde $g'(t)\lt0$ e $g''(t)\lt0$, e seu problema de otimização com restrição era escolher $t$ e $c$ para maximizar a função $v(t) + c$, sujeita à restrição $c =g(t)$, que nos fornece a condição de primeira ordem:

$$v'(t) + g'(t)=0$$

Sua escolha ótima de tempo livre $t^*$, é o valor de $t$ que satisfaz esta equação. Lembre-se que a TMS de Ângela é $v'(t)$ e a TMT é $-g'(t)$; a escolha ótima é onde TMS = TMT.

Como esse problema se altera quando Ângela paga pelo uso da terra?

Suponha que ela tenha que pagar $c_0$ alqueires de cereal por dia para Bruno, o locador da terra, pelo direito de utilizar sua fazenda. Isso significa que o consumo de cereal de Ângela será menor do que o que ela produz. Se ela escolher ter $t$ horas de tempo livre, produzirá $g(t)$ alqueires de cereal como antes, mas seu consumo agora será:

$$c= g(t) -c_0$$

Neste caso, seu problema de otimização com restrição é escolher $t$ e $c$ para maximizar a função $v(t) + c$, sujeita à restrição $c =g(t)-c_0.$

Porém, a condição de primeira ordem da escolha ótima de tempo livre é exatamente a mesma de antes:

$$v'(t) + g'(t)=0$$

então Ângela escolherá exatamente a mesma quantia de tempo livre $t^*$ que escolheu no caso em que não tinha que pagar para usar a terra. Evidentemente, isso significa que ela produzirá a mesma quantidade de cereal que antes, mas seu consumo diminuirá na exata quantidade que ela deve pagar a Bruno.

Por que isso acontece? Quando Ângela tem que pagar para cultivar a terra, ela escolhe ter $t$ horas de tempo livre e paga $c_0$ para Bruno, então seu consumo será menor. Porém, a taxa em que ela transforma tempo livre em consumo para si mesma não muda. Uma hora adicional de trabalho dá a ela tanto cereal adicional quanto dava no caso em que ela não tinha que pagar a Bruno, então sua TMT ainda é $g'(t)$. E o consumo menor não afeta sua taxa marginal de substituição por causa de suas preferências quasilineares: sua TMS é $v'(t)$ independentemente do seu consumo de cereal.

O efeito de pagar pelo uso da terra é mostrado na Figura 1. A fronteira de possibilidades original de Ângela como agricultora independente, $c=g(t)$, é a curva superior em vermelho. Nesse caso, sua escolha ótima de tempo livre e consumo é P. Quando ela paga $c_0$, a Bruno, sua fronteira de possibilidades de consumo e tempo livre se desloca verticalmente para baixo em $c_0$ unidades. Esta é a linha vermelha inferior no diagrama: $c=g(t)-c_0$.

O novo ponto ótimo de Ângela é Q: ela continua a ter $t^*$ horas de tempo livre por dia, e seu consumo diário de cereal é de $c^* - c_0$ alqueires agora. Você pode verificar o efeito da quasilinearidade na figura: curvas de indiferença quasilineares têm a mesma inclinação à medida que nos deslocamos para cima ou para baixo ao longo de uma linha vertical.

Mostramos que Ângela escolherá a mesma quantidade de tempo livre seja qual for o tamanho de $c_0$. a ser pago. Ela faz a mesma escolha se este for zero — caso em que é agricultora independente — e também faria a mesma escolha se $c_0$ fosse negativo: por exemplo, se Ângela não tivesse um locador e recebesse um subsídio do governo para trabalhar em sua própria fazenda.

Concluir que pagar pelo uso da terra não altera a alocação de tempo de Ângela significa que qualquer conflito distributivo entre ela e Bruno se refere apenas a quanto cereal cada um deles terá para consumir. Por causa das suas preferências quasilineares, a determinação das horas de trabalho de Ângela independe de como o cereal é distribuído: portanto, o tamanho do bolo e como o bolo é dividido são coisas totalmente distintas. Assumimos a hipótese de quasilinearidade no Capítulo 5 para que seja possível pensar sobre essas duas questões separadamente.

Leia mais: Seções 17.1 a 17.3 de Malcolm Pemberton e Nicholaus Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.