Leibniz 6.6.1 A função de melhor resposta do trabalhador

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

Representamos a interação entre empregado e empregador como um jogo no qual o empregador determina o salário, e o empregado responde escolhendo com quanto afinco irá trabalhar. Neste Leibniz, descrevemos as propriedades matemáticas da resposta do trabalhador.

A empregada, Maria, se importa com duas coisas: sua renda e não ter que trabalhar demais. Porém, o trabalho é mais importante para ela do que sua segunda melhor opção, o desemprego — pois recebe renda do emprego. Enquanto estiver empregada, Maria pode escolher com quanto afinco irá trabalhar. Seu nível de esforço, $e$, é a proporção de cada hora que ela dedica ao trabalho. Se não se esforça muito, Maria se arrisca a ser demitida e a perder sua renda do emprego. O tamanho de sua renda do emprego depende, principalmente, do salário determinado por seu empregador. Para cada nível de salário, $w$, Maria escolhe o nível de esforço, $e$, que é sua melhor resposta para a situação que enfrenta. Sua curva de melhor resposta é uma função que expressa o nível de esforço escolhido a cada nível de salário:

$$e = E(w)$$

Para elaborar um modelo completo da decisão de Maria, podemos começar com sua função de utilidade, e depois resolver seu problema de maximização de utilidade para descobrir sua melhor resposta para cada salário. No entanto, neste capítulo, nosso foco é a interação entre Maria e seu empregador. Por isso, pulamos esse passo e simplesmente descrevemos que formato esperamos que sua função de melhor resposta tenha (para podermos desenhá-la) e, para fazer isso, pensamos sobre como ela toma sua decisão.

O formato da função de melhor resposta

A função de melhor resposta que ilustramos no texto do capítulo tem o formato representado na Figura 1. O salário escolhido pelo empregador está no eixo horizontal, e o nível de esforço correspondente escolhido por Maria está no eixo vertical.

Porque esperamos que a função seja assim? Primeiro, se o salário é igual ao salário de reserva, a renda do emprego de Maria é zero, então ela não fará nenhum esforço. Portanto, a função intercepta o eixo horizontal no salário de reserva. Segundo, Maria trabalha mais se receber um salário maior. Isso ocorre porque, à medida que o salário aumenta, também aumenta a renda do emprego. Assim, ela escolhe um nível maior de esforço, para reduzir o risco de ser demitida e perder a renda. Portanto, a curva se inclina para cima. Em outras palavras, $E(w)$ é uma função crescente de $w$:

$$E'(w)\gt0$$

A terceira propriedade que você pode observar na Figura 1 é que a inclinação da função $E(w)$ diminui à medida que $w$ aumenta. Essa característica surge quando, como é de se esperar, o custo marginal (ou a desutilidade) do esforço aumenta à medida que o esforço aumenta. Quanto maior o salário, maior é o esforço de Maria — mas se torna mais difícil para ela aumentar ainda mais o nível de esforço se o salário aumentar um pouco mais. Isso significa que a função $E(w)$ é côncava e, então:

$$E''(w)\lt0$$

Outras influências sobre a função de melhor resposta

A renda do emprego, que dá a Maria o incentivo para se esforçar no trabalho, não depende apenas do salário. A seção 6.5 do texto discute os componentes da renda do emprego em detalhes. A renda por hora consiste na diferença entre o salário e a renda de reserva de Maria (dada, por exemplo, pelo seguro-desemprego do governo ou pelo valor da ajuda de sua família), menos a desutilidade do esforço. A renda econômica total é a renda econômica por hora multiplicada pela duração estimada do desemprego (antes dela encontrar outro emprego).

A escolha do nível de esforço de Maria também dependerá do quão perto ela é monitorada por seu empregador. Quanto maior for a probabilidade de ser pega a qualquer momento olhando o Facebook, maior o incentivo para Maria trabalhar com afinco.

Esses fatores adicionais que afetam o esforço determinam a posição da curva de melhor resposta no plano $w−e$, e são conhecidos como parâmetros da função de melhor resposta $E$. Mudanças nos valores dos parâmetros alteram a curva de melhor resposta. Por exemplo, um aumento na duração do desemprego aumentará o nível de esforço para cada nível de salário, deslocando a curva para cima, e um aumento no seguro-desemprego a deslocaria para baixo.

Podemos descrever os efeitos de fatores não salariais tratando-os como variáveis adicionais. A função de melhor resposta de Maria poderia ser escrita como uma função de cinco variáveis e não de apenas uma:

$$e = E(w,\ a,\ p,\ b,\ d)$$

onde

• $e$ e $w$ novamente se referem, respectivamente, a esforço e salário,
• $a$ é uma medida de desutilidade do esforço, a qual, por sua vez, é uma característica da função de utilidade de Maria,
• $p$ é a probabilidade de ser pega quando não estiver trabalhando,
• $b$ é seu seguro-desemprego,
• $d$ refere-se à duração do desemprego.

Para dados valores das variáveis adicionais $a$, $p$, $b$ e $d$, a relação entre $e$ e $w$ tem o formato representado na Figura 1 — $E$ é uma função crescente e côncava de $w$. A única diferença é que expressamos isso utilizando derivadas parciais:

$$\frac{\partial E}{\partial w} \gt0, \, \frac{\partial^2 E}{\partial w^2} \lt0$$

Os efeitos de outras variáveis também podem ser expressos como derivadas parciais. A partir da discussão acima, podemos ver que:

$$\frac{\partial E}{\partial a} \lt 0, \, \frac{\partial E}{\partial p} \gt 0, \, \frac{\partial E}{\partial b} \lt 0, \, \frac{\partial E}{\partial d} \gt 0.$$

Assim, o esforço de Maria é uma função decrescente da desutilidade de esforço e do auxílio desemprego, e uma função crescente da probabilidade de ser pega enrolando no trabalho e da duração do desemprego.

Leia mais: Seção 14.1 de Malcolm Pemberton e Nicholaus Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.