Leibniz 3.1.3

Konkave und konvexe Funktionen

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Das Konzept des abnehmenden Grenzprodukts entspricht der mathematischen Eigenschaft der Konkavität. Wenn wir uns die mathematische Idee der konkaven und konvexen Funktionen ansehen, können wir einige weitere Einblicke in die wirtschaftlichen Eigenschaften von Produktionsfunktionen gewinnen.

konkave Funktion

Eine Funktion zweier Variablen, bei der das Liniensegment zwischen zwei beliebigen Punkten der Funktion vollständig unterhalb der Funktion liegt (die Funktion ist konvex, wenn das Liniensegment oberhalb der Funktion liegt).

In Leibniz 3.1.2 haben wir gesehen, dass im Fall der Produktionsfunktion $y = Ah^\alpha$, mit $A \gt 0$ und $0 \lt \alpha \lt 1$, das Grenzprodukt der Arbeit abnimmt. Das bedeutet, dass die Steigung der Kurve abnimmt, wenn wir uns auf der Kurve der Produktionsfunktion nach rechts bewegen. Eine Funktion mit dieser Eigenschaft wird als konkav bezeichnet.

Eine Folgerung aus der Konkavität (und ihrer algebraischen Definition) ist, dass „die Funktion des Durchschnitts größer ist als der Durchschnitt der Funktion“. Um zu veranschaulichen, was diese Aussage bedeutet, nehmen wir an, dass wir für eine Funktion $f(h)$ zwei beliebige Werte $h_0$ und $h_1$ nehmen. Dann:

$$f\left(\frac{h_0+h_1}{2}\right) \gt \frac{f(h_0)+f(h_1)}{2}$$

Die linke Seite ist die Funktion des Durchschnitts der beiden Werte, und die rechte Seite ist der Durchschnitt der Funktion der beiden Werte. (Um zu sehen, warum die Ungleichung gilt, versuchen Sie, eine konkave Produktionsfunktion zu zeichnen, zwei Werte auf der horizontalen Achse zu wählen und die Punkte auf dem Diagramm zu finden, die den beiden Durchschnittswerten entsprechen.)

Wir können diese Eigenschaft in der Volkswirtschaftslehre sehr gut interpretieren. Um zu verstehen, was sie bedeutet, betrachten Sie das folgende Beispiel.

Nehmen wir an, dass Alexei eine Produktionsfunktion wie die obige hat, mit $A = 20$ und $\alpha = 0,5$; das heißt:

$$y = 20\sqrt{h}$$

Er hat gerade sein Studium begonnen und erwägt zwei verschiedene Möglichkeiten, seine Zeit einzuteilen. Da er noch niemanden kennt, denkt er, dass er das erste Semester besser damit verbringen sollte, Kontakte zu knüpfen, so dass seine durchschnittliche tägliche Lernzeit für die Prüfung am Ende des Semesters $0$ betragen würde. Nachdem er seine Position in seinem sozialen Umfeld gefestigt hat, würde er im zweiten Semester wieder mit vollem Elan studieren und jeden Tag $9$ Stunden lernen. Aus seiner Produktionsfunktion geht hervor, dass seine Noten unter diesem Regime $20\sqrt{0} =0$ für die Prüfung im ersten Semester und $20\sqrt{9} =60$ für das zweite Semester wären. Sein durchschnittliches Prüfungsergebnis wäre also $\frac{1}{2}\times 0 + \frac{1}{2}\times 60=30$.

Alternativ könnte er konstant an seinem Sozialleben und seinen akademischen Ergebnissen arbeiten und in beiden Semestern jeden Tag $4,5$ Stunden lernen. Beachten Sie, dass er bei dieser Strategie insgesamt die gleichen Stunden Freizeit opfert wie bei der vorherigen Vorgehensweise—der Input ist derselbe. Welche Noten kann er dann erwarten? Er wird $20\sqrt{4,5} = 42,4$ in jedem Semester erhalten, was ihm $42,4$ im Durchschnitt einbringt.

Beim Vergleich dieser beiden möglichen Strategien stellt Alexei fest, dass in seinem Fall ‚langsam und stetig‘ tatsächlich das Rennen gewinnt, weil sein Output insgesamt höher ist, wenn die Arbeitsstunden konstant sind und nicht schwanken. Dies ist die volkswirtschaftliche Konsequenz der Konkavität.

Hätten wir dagegen angenommen, dass $\alpha \gt 1$, hätten wir festgestellt, dass der Output höher ist, wenn die Stunden nicht konstant sind: In diesem Fall lernt Alexei mehr, wenn er über einen kürzeren Zeitraum intensiver lernt. Wenn $\alpha \gt 1$, nimmt die Steigung des Graphen der Produktionsfunktion mit zunehmender Stundenzahl zu, sodass das Grenzprodukt der Arbeit eher steigt als abnimmt, wie in Abbildung 3, in der $\alpha =1,6$. Wir würden die Produktionsfunktion dann als konvex und nicht als konkav bezeichnen. Ein Sonderfall ist die Funktion $y=Ah^2$: Sie können durch Ableiten überprüfen, dass für diese Produktionsfunktion der Graph des Grenzprodukts der Arbeit eine aufwärtsgerichtete Gerade ist.

Lesen Sie mehr: Abschnitt 8.4 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.