Leibniz 3.5.1

Optimale Allokation der freien Zeit: GRT trifft GRS

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Alexei möchte eine möglichst gute Prüfungsnote erzielen und dabei so wenig Freizeit wie möglich opfern. Wir haben in einem Diagramm gesehen, dass er seinen Nutzen maximiert, indem er den Punkt wählt, an dem eine Indifferenzkurve tangential zur Machbarkeitsgrenze verläuft, bei der die Grenzrate der Substitution (GRS) gleich der Grenzrate der Transformation (GRT) ist. In diesem Leibniz zeigen wir, wie man Alexeis Entscheidung mathematisch als beschränktes Optimierungsproblem formuliert und es löst, um die optimale Kombination aus Note und freier Zeit zu finden.

Alexeis optimale Wahl von Freizeit und Prüfungsnote ist in der folgenden Abbildung 1 dargestellt. Sie kombiniert seine realisierbare Menge und seine Indifferenzkurven. Das Optimum wird an dem Punkt E auf der Machbarkeitsgrenze erreicht, wo die Machbarkeitsgrenze die gleiche Steigung wie die Indifferenzkurve hat.

Alexeis Nutzenfunktion ist $U(t,\ y)$: Der Nutzen hängt positiv von den Stunden Freizeit t und der Prüfungsnote y ab. Er möchte seinen Nutzen unter der Bedingung maximieren, dass die realisierbare Menge an Noten und freier Zeit eingehalten wird. Wie in Leibniz 3.4.1 lautet die Gleichung der Machbarkeitsgrenze, wenn die Produktionsfunktion $y=f(h)$ ist, wobei h die Lernstunden sind:

$$y = f(24 - t)$$

Das Problem von Alexei besteht also darin, t und y so zu wählen, dass $U(t,\ y)$ unter der Nebenbedingung $y=f(24 - t)$ maximiert wird.

beschränktes Optimierungsproblem

Probleme, bei denen eine Person, die eine Entscheidung treffen muss, die Werte einer oder mehrerer Variablen wählt, um ein Ziel (zum Beispiel Gewinnmaximierung) zu erreichen. Dabei unterliegt die Person einer Beschränkung, die die realisierbare Menge bestimmt. Ein Beispiel für eine solche Beschränkung ist die Nachfragekurve.

Dies ist ein Beispiel für ein Problem, das in der Mathematik als beschränkte Optimierung bekannt ist. Manchmal wird bei dieser Art von Problem die Einschränkung als Ungleichung geschrieben: $y \leq f(24 - t)$, was so interpretiert werden kann, dass seine Wahl in der realisierbaren Menge liegen muss. Da sein Nutzen aber positiv von t und y abhängt, wissen wir, dass er einen Punkt auf der Machbarkeitsgrenze wählen will. Wir können die Beschränkung also als Gleichung formulieren, was die mathematische Lösung des Problems erleichtert.

Eine Möglichkeit, Alexeis Problem zu lösen, besteht darin, die Beschränkung zu verwenden, um in der Nutzenfunktion y durch t zu substituieren. Dann wird der Nutzen als eine Funktion der einzelnen Variablen t ausgedrückt:

$$U(t,\ y) = U(t,\ f\left( 24 - t \right))$$

welche in Bezug auf t maximiert werden kann, indem ihre erste Ableitung mit null gleichgesetzt wird. Diese Ableitung ist die Gesamtableitung des Nutzens nach t, die auf die übliche Weise über die Kettenregel berechnet werden kann:

$$\frac{dU}{dt} = \frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial U}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$

Der Term $\dfrac{dy}{dt}$ auf der rechten Seite wird durch Differenzierung der Produktionsfunktion $y= f(24- t)$ berechnet:

$$\frac{dy}{dt} = -f'(24- t)$$

durch die Regel der zusammengesetzten Funktionen, also:

$$\frac{dU}{dt} = \frac{\partial U}{\partial t} - \frac{\partial U}{\partial y} f'(24 - t)$$

Diese Gleichung besagt, dass, wenn wir uns entlang der Machbarkeitsgrenze in Richtung einer Erhöhung von t bewegen, der Nettoeffekt auf den Nutzen das Ergebnis des direkten Effekts von mehr Freizeit ist, der natürlich positiv ist, zusammen mit dem negativen indirekten Effekt einer schlechteren Prüfungsnote.

An dem Punkt, der Alexeis Maximierungsproblem löst, ist $\dfrac{dU}{dt}=0$. An diesem Punkt also:

$$\frac{\partial U}{\partial t} = \frac{\partial U}{\partial y} f'(24- t)$$

Dies lässt sich im Hinblick auf die beiden im vorangegangenen Absatz erwähnten Auswirkungen auf den Nutzen eindeutig interpretieren: Am optimalen Punkt gleichen sich der positive Effekt von etwas mehr Freizeit und der negative Effekt einer etwas schlechteren Prüfungsnote aus.

Wenn wir die letzte Gleichung umstellen, sehen wir, dass:

$$f^{'}\left(24 - t \right) = \frac{\frac{\partial U}{\partial t}}{\frac{\partial U}{\partial y}}$$

am optimalen Punkt gelten muss. Die linke Seite ist der absolute Wert der Steigung der Machbarkeitsgrenze, die wir in Leibniz 3.4.1 als Grenzrate der Transformation (GRT) bezeichnet haben, und wie wir in Leibniz 3.2.1 gesehen haben, ist die rechte Seite der absolute Wert der Steigung der Indifferenzkurve, die wir als Grenzrate der Substitution (GRS) bezeichnet haben. Am optimalen Punkt sind die Steigungen also gleich wie in Abbildung 1. Mit anderen Worten,

$$\text{GRT}=\text{GRS}$$

Dies wird als Bedingung erster Ordnung für die Optimierung bezeichnet, da sie durch die Gleichsetzung einer ersten Ableitung (in diesem Fall der Gesamtableitung $\frac{dU}{dt}$) mit null erhalten wurde. Da sich ein Großteil der Volkswirtschaftslehre mit beschränkter Optimierung befasst, werden Sie ähnliche Bedingungen in späteren Leibniz-Abschnitten finden.

Denken Sie daran, dass wir die Werte von t und y finden wollen, die Alexeis Nutzen maximieren. Bisher haben wir gezeigt, dass die gesuchten Werte von t und y die Bedingung erster Ordnung erfüllen müssen. Um das Problem vollständig zu lösen und die optimalen Werte zu finden, müssen wir beachten, dass sie auch auf der Machbarkeitsgrenze liegen müssen. Wir haben also ein Gleichungspaar:

$$f^{'}\left( 24 - t \right) = \frac{\frac{\partial U}{\partial t}}{\frac{\partial U}{\partial y}}$$ $$y = f(24 - t)$$

die von t und y erfüllt werden müssen. Im nächsten Abschnitt werden wir diese Gleichungen für bestimmte Nutzen- und Produktionsfunktionen ableiten und sie lösen, um die optimalen Werte von t und y zu finden.

Lesen Sie weiter: Abschnitte 8.1 bis 8.3 zur Maximierung und Abschnitt 14.2 zur Unterscheidung zwischen totaler und partieller Ableitung, von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press

Optimale Allokation der freien Zeit: ein Beispiel

Wir veranschaulichen nun die Grundsätze des vorigen Abschnitts anhand konkreter Produktions- und Nutzenfunktionen.

Budgetbeschränkung

Eine Gleichung, die alle Kombinationen von Waren und Dienstleistungen darstellt, die man erwerben könnte und die die eigenen budgetären Ressourcen (zum Beispiel das Vermögen) genau ausschöpfen.

Das beschränkte Optimierungsproblem besteht aus zwei Teilen: der Zielfunktion, die den Nutzen beschreibt, den Alexei maximieren möchte, und der Beschränkung, die in diesem Fall Alexeis Produktionsfunktion für Prüfungsnoten ist.

Wir nehmen wie in Leibniz 3.2.1 an, dass Alexei eine Cobb-Douglas-Nutzenfunktion hat:

$$U (t,\ y)= t^a y^b$$

wobei a und b positive Konstanten sind. (Wir verwenden a und b anstelle von $\alpha$ und $\beta$, weil $\alpha$ in der Produktionsfunktion verwendet werden.)

Wie in Leibniz 3.1.1 nehmen wir an, dass die Beziehung, die beschreibt, wie Alexei die Stunden des Lernens h in eine Prüfungsnote y umwandelt, wie folgt lautet

$$y = Ah^{\alpha}$$

wobei A und $\alpha$ positive Konstanten sind und $\alpha \lt 1$. Außerdem können wir diese Produktionsfunktion wie bisher in Form von Stunden Freizeit t schreiben, denn $h = 24 -t$. Wenn wir dies tun und der Einfachheit halber annehmen, dass $A=1$ ist, sehen wir, dass:

$$y = {(24 - t)}^{\alpha}$$

Das ist die Gleichung der Machbarkeitsgrenze.

Alexeis Problem besteht darin, t und y so zu wählen, dass $t^a y^b$ maximiert wird, und zwar unter der Einschränkung, dass:

$$y = \left(24- t \right)^\alpha$$

Im vorherigen Abschnitt wurden uns zwei Möglichkeiten aufgezeigt, dieses Problem zu lösen: Wir können entweder die Methode der Substitution anwenden oder die Formel von oben verwenden. Wir werden beide Möglichkeiten demonstrieren und bestätigen, dass sie uns die gleiche Antwort liefern.

Anwendung der Formel

Mit „der Formel“ meinen wir die Bedingung erster Ordnung $\text{GRT} = \text{GRS}$. Wir wissen, dass die Lösung des Problems diese Bedingung erfüllen muss, also berechnen wir die GRT aus der Machbarkeitsgrenze und die GRS aus der Nutzenfunktion und setzen die beiden gleich.

Wie wir in Leibniz 3.4.1 gesehen haben, ist die GRT der absolute Wert der Steigung der Machbarkeitsgrenze. Unter Verwendung der obigen Gleichung für die Machbarkeitsgrenze:

$$\text{GRT} = \left|\frac{dy}{dt}\right| = \alpha \left( 24 - t \right)^{\alpha -1} = \frac{\alpha y}{ 24 - t}$$

Außerdem haben wir in Leibniz 3.2.1 gezeigt, dass die GRS das Verhältnis der Grenznutzen ist. Die Grenznutzen werden durch Differenzierung der Nutzenfunktion ermittelt:

$$\frac{\partial U}{\partial t} = at^{a - 1}y^{b}$$ $$\frac{\partial U}{\partial y} = bt^{a}y^{b - 1}$$

Die GRS ist also gegeben durch:

$$\text{GRS} = \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. = \frac{a y}{b t}$$

Gleichsetzen von GRT mit GRS und multiplizieren mit $\frac{t}{y}$ ergibt

$$\frac{\alpha t}{24 - t} = \frac{a}{b}$$

Lösen wir diese Gleichung für t, sehen wir, dass $t = \frac{24}{(1+k)}$, wobei $k=\frac{\alpha b}{a}$. Wenn wir dies in die Produktionsfunktion einsetzen, erhalten wir die vollständige Lösung von Alexeis Problem:

$$t = \frac{24}{1+k}, \; \; y = \left(\frac{24k }{1+k} \right)^\alpha, \, \text{wobei}\ k=\frac{\alpha b}{a}$$

Dies sind die Werte von t und y, die Alexei den höchsten Nutzen bringen, den er innerhalb der realisierbaren Menge erreichen kann.

Verwendung der Substitutionsmethode

Diese Methode besteht darin, die Beschränkung in die Zielfunktion einzusetzen, um sie zu einer Funktion von nur einer Variablen zu machen und diese Funktion zu maximieren. Substituiert man die Beschränkung $y = \left(24- t \right)^\alpha$ in die Nutzenfunktion, erhält man einen Ausdruck für den Nutzen als Funktion von t allein:

$$U = t^a \left(24 - t \right)^{\alpha b}$$

Um U zu maximieren, berechnen wir $dU/dt$ und setzen es mit null gleich. Wir verwenden die Produktregel,

$$\frac{dU}{dt} = a t^{a-1}(24 - t )^{\alpha b} - \alpha b t^a (24- t )^{\alpha b-1}$$

Wie in der allgemeinen Analyse des vorherigen Abschnitts, drückt dies den Nettoeffekt einer Erhöhung von t auf den Nutzen als Ergebnis eines positiven direkten Effekts und des negativen Effekts einer schlechteren Prüfungsnote aus.

Wenn wir $dU/dt$ gleich null setzen und die resultierende Gleichung durch $t^{a-1}(24 - t )^{\alpha b}$ dividieren, sehen wir, dass $a = \frac{\alpha b t}{24 - t}$. Wir stellen um,

$$\frac{\alpha t}{24 - t} = \frac{a}{b}$$

Dies ist die gleiche Gleichung für t, die wir mit $\text{GRT} = \text{GRS}$ erhalten haben, und der Rest der Lösung ist wie zuvor.

Lesen Sie mehr: Abschnitte 8.1 bis 8.3 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.