Leibniz 5.4.1

Quasi-lineare Präferenzen

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Angela ist eine Landwirtin, die zwei Dinge wertschätzt: Getreide (das sie konsumiert) und freie Zeit. In Einheit 5 nehmen wir an, dass ihre Präferenzen in Bezug auf diese beiden Güter eine besondere Eigenschaft haben: Sie schätzt Getreide mit einem konstanten Betrag relativ zur freien Zeit, unabhängig davon, wie viel Getreide sie bereits besitzt. Dieses Leibniz zeigt, wie man diese Eigenschaft mathematisch erfassen kann.

In vorherigen Leibniz-Abschnitten haben wir ausgiebig Gebrauch von der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion gemacht. Wir untersuchen nun eine Alternative: die quasi-lineare Nutzenfunktion.

Nehmen wir an, $t$ sei Angelas tägliche freie Zeit und $c$ die Anzahl der Scheffel Getreide, die sie pro Tag konsumiert. Wie im Haupttext nehmen wir an, dass der Betrag, zu dem Angela bereit ist, Getreide gegen freie Zeit zu tauschen, konstant bleibt, wenn ihr Konsum von Getreide steigt. Mit anderen Worten: Die Grenzrate der Substitution zwischen Freizeit und Getreide hängt nur von der Freizeit und nicht vom Getreide ab. Wir haben Indifferenzkurven mit dieser Eigenschaft in Abbildung 1 skizziert. Für eine beliebige Menge an freier Zeit, sagen wir $t_0$, ist die Steigung der Indifferenzkurve am Punkt $(t_0,\ c)$ für alle $c$ gleich, was bedeutet, dass die Tangenten in der Abbildung parallel sind.

Eine Nutzenfunktion mit der Eigenschaft, dass die Grenzrate der Substitution (GRS) zwischen $t$ und $c$ nur von $t$ abhängt, ist:

$$U(t,\ c) = v(t) + c$$

wobei $v$ eine steigende Funktion ist: $v'(t)\gt0$, weil Angela mehr freie Zeit gegenüber weniger bevorzugt. Man nennt dies eine quasi-lineare Funktion, denn der Nutzen ist linear in $c$ und einer gewissen Funktion von $t$. Wir zeigen nun, dass diese Nutzenfunktion die erforderliche Eigenschaft besitzt.

Angelas Grenzrate der Substitution (GRS) zwischen der freien Zeit $t$ und dem Konsum von Getreide $c$ ist—wie in Leibniz 3.2.1—definiert als der absolute Wert der Steigung der Indifferenzkurve durch den Punkt $(t,\ c)$. Sie kann durch die Formel gefunden werden, die wir im früheren Leibniz hergeleitet haben:

$$\text{GRS} = \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial c} \right.$$

In diesem Fall, $\dfrac{\partial U}{\partial t}=v'(t)$ und $\dfrac{\partial U}{\partial c}=1$, so

$$\text{GRS} = v'(t)$$

Dasselbe Ergebnis lässt sich auch direkt erhalten, ohne die allgemeine Formel zu verwenden. Jede Indifferenzkurve hat die folgende Form

$$v(t) + c = \text{konstant}$$

oder $c= k - v(t)$, wobei $k$ eine Konstante ist. Daher

$$\frac{dc}{dt} = - v'(t) \lt0$$

entlang einer Indifferenzkurve. Die Kurve fällt nach unten ab und der absolute Wert der Steigung ist $v'(t)$. Die GRS ist also eine reine Funktion von $t$, wie wir es beweisen wollten.

In Abbildung 1 haben die Indifferenzkurven die übliche Eigenschaft einer abnehmenden GRS, die sich nach rechts hin abflacht. Damit dies geschieht, muss $v'(t)$ mit steigendem $t$ sinken. Somit ist $v''(t)\lt0$: $v$ ist eine konkave Funktion. Da Indifferenzkurven die Form $‚c = \text{Konstante} - v(t)‘$ haben, unterscheiden sich zwei beliebige von ihnen um einen konstanten vertikalen Abstand, wie Sie in Abbildung 1 sehen können. Der Grund, warum sich die Kurven in dem Diagramm bei großen Werten von $c$ horizontal aneinanderreihen, ist einfach der, dass sie dort steiler sind.

Zusammengefasst: Die Nutzenfunktion

$$U(t,\ c) = v(t) + c$$

bei der die Funktion $v$ steigend und konkav ist, wird als quasi-linear bezeichnet. Die Verwendung einer Nutzenfunktion dieser Form bedeutet, dass wir eine eingeschränkte Annahme über Präferenzen treffen, aber sie hat eine sehr nützliche Implikation. Da der Nutzen die Form ‘$c + \text{irgendwas}$’ hat, wird er in denselben Einheiten gemessen wie der Konsum. Angela schätzt $t$ Stunden Freizeit genauso sehr wie $v(t)$ Scheffel Getreide.

Die Möglichkeit, den Nutzen in Einheiten des Konsums zu messen, ist oft hilfreich, insbesondere in Fällen, in denen Angela Getreide auf dem Markt verkaufen und mit dem Erlös Milchprodukte, Kleidung oder etwas anderes kaufen kann. In solchen Kontexten interpretieren Ökonominnen und Ökonomen $c$ oft als Einkommen in Geld. Die Annahme quasi-linearer Präferenzen macht es möglich, Gewinne und Verluste von Nutzen in Geld zu messen.

Ein Beispiel

Ein Beispiel für eine quasi-lineare Nutzenfunktion ist:

$$U(t,\ c) = b t^\alpha + c$$

wobei $b$ und $\alpha$ positive Konstanten sind und $\alpha\lt1$. Sie können sofort sehen, dass sie die Form $v(t) +c$ hat, mit $v(t)= b t^\alpha$. Um zu beweisen, dass es sich um eine quasi-lineare Nutzenfunktion wie oben beschrieben handelt, müssen wir zeigen, dass die Funktion $v$ steigend und konkav ist. Dies ist leicht möglich:

$$v'(t)= \alpha b t^{\alpha -1}$$

was positiv ist, weil $b$ und $\alpha$ positiv sind, und

$$v''(t)= (\alpha -1)\alpha b t^{\alpha -2}$$

was negativ ist, weil $b\gt0$ und $0\lt\alpha \lt1$.

Lesen Sie mehr: Abschnitte 17.1 bis 17.3 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.