Leibniz 5.8.1

Die Pareto-Effizienz-Kurve

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Es gibt viele mögliche Allokationen, die sich aus der Interaktion zwischen Angela und Bruno ergeben. Wir haben uns zum Beispiel die Allokation angesehen, die Bruno durchsetzen würde, wenn er Gewalt anwenden könnte, und die Allokation, die er wählt, wenn er ein take-it-or-leave-it-Angebot für einen Vertrag machen kann, in dem Angela das Land bearbeiten darf, wenn sie ihm eine Pacht in Form eines Teils des produzierten Getreides zahlt. In diesem Leibniz erarbeiten wir mathematisch die Menge der Allokationen, die Pareto-effizient sind: das heißt, die Pareto-Effizienz-Kurve.

Pareto-effizient

Eine Allokation mit der Eigenschaft, dass es keine alternative technisch mögliche Allokation gibt, bei der mindestens eine Person besser und niemand schlechter gestellt wäre.

Eine machbare Allokation ist Pareto-effizient, wenn es keine Allokation gibt, die sie Pareto-dominiert: das heißt, keine Person kann besser gestellt werden, ohne eine andere schlechter zu stellen. Um eine Pareto-effiziente Allokation zwischen Bruno und Angela zu finden, müssen wir uns zunächst Gedanken über ihre Präferenzen machen, das heißt, darüber, was sie besser stellen würde.

Angela legt Wert auf freie Zeit und das Getreide, das sie konsumiert. Sie hat eine quasi-lineare Nutzenfunktion, und wie in Leibniz 5.4.1 schreiben wir sie als:

$$U(t,\ c) = v(t) + c$$

wobei $t$ ihre tägliche Freizeit und $c$ die Anzahl der Scheffel Getreide ist, die sie pro Tag konsumiert, und die Funktion $v$ ist steigend und konkav.

Brunos Präferenzen sind sehr einfach. Ihm ist nur die Menge an Getreide wichtig, die er erhält, die wir $R$ nennen. Je höher $R$, desto besser geht es Bruno.

Die wirtschaftlich mögliche Menge

Als nächstes berechnen wir, welche Allokationen wirtschaftlich möglich sind. Die Gesamtmenge an Getreide, die Angela und Bruno zur Verfügung steht, ist die Menge, die Angela produziert, indem sie einen Teil ihrer Zeit für die Bearbeitung des Landes einsetzt. Wie in Leibniz 5.4.1 nehmen wir an, dass Angela, wenn sie $t$ Stunden Freizeit pro Tag hat, $g(t)$ Scheffel Getreide produziert. Wir nehmen wieder an, dass $g$ eine abnehmende, konkave Funktion ist: $g'(t)\lt0$ und $g''(t)\lt0$.

$g(t)$ ist die maximale Getreidemenge, die Bruno und Angela gemeinsam konsumieren können. Die Machbarkeitsgrenze für ihre Interaktion lautet also:

$$c+R = g(t)$$

Nehmen wir an, dass wenn Angela nicht arbeiten würde und Überlebensrationen von der Regierung bekäme, ihr Nutzen $u_0$ betragen würde. Sie wird nur dann bereit sein zu arbeiten, wenn es ihr dadurch mindestens genauso gut geht. Ihre Reservationsindifferenzkurve lautet:

$$v(t) + c=u_0$$

Bruno ist nur dann bereit, sich auf die Interaktion einzulassen, wenn die Menge an Getreide, die er erhält, mindestens null beträgt: $R\geq0$. (Eine negative Getreidemenge würde bedeuten, dass er Angela zusätzliches Getreide aus seinem eigenen Vorrat zukommen lässt).

Die wirtschaftlich mögliche Menge ist die Menge der Allokationen von Getreide für Angela, $c$, Getreide für Bruno, $R$, und freier Zeit für Angela, $t$, so dass:

$$c+R \leq g(t),\ R\geq 0 \mbox{ und } v(t) + c \geq u_0$$

Dies sind die Allokationen, bei denen die Gesamtmenge des verbrauchten Getreides kleiner oder gleich der produzierten Menge ist und Angela und Bruno beide mindestens ihren Reservationsnutzen erhalten.

Die Bedingung erster Ordnung für Pareto-effiziente Allokationen

Eine Möglichkeit, die Pareto-effizienten Allokationen für die Interaktion zwischen Angela und Bruno zu finden, besteht darin, zu sagen: ‚Nehmen wir eine Allokation an, bei der Bruno eine Menge an Getreide $R\geq 0$ erhält. Dann ist sie dann und nur dann Pareto-effizient, wenn es Angela angesichts der Getreidemenge für Bruno so gut wie möglich geht und ihr Nutzen mindestens $u_0$ ist.‘

Das bedeutet zunächst einmal, dass bei einer Pareto-effizienten Allokation das gesamte produzierte Getreide verbraucht werden muss. Wenn also die produzierte Getreidemenge $g(t)$ beträgt und Bruno $R$ verbraucht, muss Angela den gesamten Rest verbrauchen: $c+R = g(t)$. Es bleibt kein überschüssiges Getreide übrig.

Zweitens müssen $c$ und $t$ unter der Bedingung, dass das gesamte Getreide konsumiert wird, zusammen Angelas Nutzen maximieren. Mit anderen Worten, bei gegebenem $R$ kann eine Allokation $(t,\ c,\ R)$ nur dann Pareto-effizient sein, wenn wir:

$$t \text{ und }c \text{ so wählen, dass }v(t)+c \text{ maximiert wird, unter der Nebenbedingung: }c+R=g(t)$$

Zusätzlich muss gelten, dass Angela dadurch mindestens ihren Reservationsnutzen erhält. Dieses beschränkte Optimierungsproblem lässt sich lösen, indem wir zunächst die Beschränkung als Substitut für $c$ verwenden. Da $c=g(t)-R$ ist, müssen wir nur Folgendes tun:

$$t \text{ so wählen, dass }v(t) + g(t) -R \text{ maximiert wird }$$

Wenn man dann nach $t$ ableitet und die Ableitung null setzt, erhält man die Bedingung erster Ordnung:

$$v'(t) + g'(t)=0$$

Wir haben diese Gleichung bereits in Leibniz 5.4.2 gesehen, wo wir festgestellt haben, dass die Annahme, dass $v$ und $g$ konkave Funktionen sind, impliziert, dass die Gleichung höchstens eine Lösung hat. Wir nehmen an, dass es eine Lösung gibt und bezeichnen sie mit $t^*$.

Beachten Sie, dass dieses beschränkte Optimierungsproblem, dasjenige ist, das Angela lösen würde, wenn Bruno einen Pachtbetrag von $R$ verlangen würde und sie $c$ und $t$ für sich selbst wählen könnte. Die Bedingung erster Ordnung ist die bekannte Gleichung $\text{GRT} = \text{GRS}$, wobei $\text{GRT} = -g'(t)$ und $\text{GRS} = v'(t)$. In Leibniz 5.4.2 haben wir das Problem für den Fall gelöst, als sie eine unabhängige Landwirtin war: $R=0$. Wir haben hier gezeigt, dass ihre Wahl von $t$ unabhängig von der Höhe der geforderten Pacht gleich ausfallen würde.

Zeichnen der Pareto-Effizienz-Kurve

Wir haben gezeigt, dass es bei Brunos Konsum von Getreide $R$ genau eine Pareto-effiziente Allokation gibt: Angelas freie Zeit ist $t^*,$ die Lösung der Bedingung erster Ordnung:

$$v'(t^*) + g'(t^*)=0$$

und ihr Konsum von Getreide ist $g(t^*)-R$. Um diese Allokation zu finden, haben wir zunächst $R$ willkürlich festgelegt. Tatsächlich gibt es unendlich viele mögliche Werte für $R$, und für jeden dieser Werte gibt es eine entsprechende Pareto-effiziente Allokation.

Die Menge aller Pareto-effizienten Allokationen—das heißt die Pareto-Effizienz-Kurve—ist die Menge aller Punkte $(t,\ c,\ R)$, die die Bedingung erster Ordnung erfüllen, sowie alle Nebenbedingungen, die die wirtschaftlich mögliche Menge bestimmen. Sie ist also durch folgende Bedingungen gegeben:

$$t=t^*, \quad c+R=g(t^*), \quad c+v(t^*)\geq n_0, \quad R\geq 0$$

In dem Beispiel, das wir in Abbildung 5.8 des Textes gesehen haben und das wir hier als Abbildung 1 wiedergeben, ist $t^*=16$. Die Pareto-effizienten Allokationen liegen auf der vertikalen Linie $t=16$, und die produzierte Getreidemenge beträgt $g(16)=9$ Scheffel. Die Punkte auf dieser vertikalen Linie sind die Punkte, an denen Angelas GRS zwischen freier Zeit und Getreide gleich der GRT ist. Aber nicht alle Punkte auf der Linie erfüllen die anderen Bedingungen. Die Menge aller Pareto-effizienten Allokationen liegt zwischen den Punkten C und D. Bei der Allokation, die durch den Punkt G dargestellt wird, erhält Bruno beispielsweise eine durch GC gegebene Getreidemenge $R$, und Angela erhält den Rest.

Allokationen mit höherem $R$ und niedrigerem $c$ liegen näher an D. Sie sind vorteilhafter für Bruno und weniger vorteilhaft für Angela. Allokationen, die näher an C liegen, sind besser für Angela und schlechter für Bruno.

Das Ergebnis, dass Angelas freie Zeit bei allen Pareto-effizienten Allokationen gleich ist, ist eine Folge ihrer quasi-linearen Nutzenfunktion und würde für alternative Formen der Nutzenfunktion nicht gelten. In anderen Fällen würde die Pareto-Effizienz-Kurve innerhalb der linsenförmigen Region in Abbildung 1 liegen, aber wäre keine vertikale Gerade.

Die Pareto-Effizienz-Kurve: Zwei Beispiele

Unser erstes Beispiel veranschaulicht die Prinzipien der beiden vorangegangenen Abschnitte anhand bestimmter Nutzen- und Produktionsfunktionen. Anschließend geben wir ein zweites Beispiel, bei dem Angelas Nutzenfunktion nicht quasi-linear ist und die Pareto-Effizienz-Kurve wirklich eine Kurve und keine vertikale Linie ist.

1. Spezifische Nutzen- und Produktionsfunktionen

Wie in Leibniz 5.4.2 gehen wir davon aus, dass die Machbarkeitsgrenze und Angelas Nutzenfunktion gegeben sind durch:

$$g(t)=2\sqrt{48 -2t}, \quad U(t,\ c) = 4\sqrt{t} + c$$

Dann sind die oben mit $g'(t)$ und $v'(t)$ bezeichneten Terme entsprechend:

$$\frac{d}{dt} \left(2(48 -2t)^{1/2}\right) = -2(48 -2t)^{-1/2}, \quad \frac{d}{dt} \left(4t^{1/2}\right) = 2t^{-1/2}.$$

Somit ist $t^*$, Angelas tägliche Stunden Freizeit bei jeder Pareto-effizienten Allokation, die Lösung der Gleichung:

$$\frac{2}{\sqrt{t}} - \frac{2}{\sqrt{48-2t}} = 0$$

Diese Gleichung impliziert, dass:

$$t=48-2t$$

Daher ist $t^*=16$, und die Menge des produzierten Getreides ist $g(t^*)= 2\sqrt{48 -32}=8$. In diesem Beispiel muss also jede Pareto-effiziente Allokation $(t,\ c,\ R)$ so sein, dass:

$$t=16, \quad c+R=8$$

Darüber hinaus müssen sowohl Angela als auch Bruno mindestens ihren Reservationsnutzen erhalten. Angelas Reservationsnutzen wird erreicht, wenn sie $(t = 24)$ nicht arbeitet und $2$ Scheffel Getreide pro Tag konsumiert, die von der Regierung bereitgestellt werden. Ihr Reservationsnutzen ist also $4\sqrt{24} + 2$. Eine Pareto-effiziente Allokation, mit $t^*=16$, muss also erfüllen:

$$4\sqrt{16} +c\geq 4\sqrt{24}+2$$

Die Lösung dieser Ungleichung liefert uns:

$$c\geq 5,596$$

auf drei Nachkommastellen. Brunos Getreidemenge $R$ muss mindestens null sein. Der maximal mögliche Wert von $R$ ist die Menge, die Angela höchstens abgeben möchte. Da $c+R=8$, ist dies $R=8-5,596=2,404$ auf drei Nachkommastellen genau. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der mögliche Bereich für Bruno folgender ist:

$$0 \leq R \leq 2,404$$

2. Cobb-Douglas-Nutzen

In diesem Beispiel hat Angelas Nutzenfunktion die Cobb-Douglas-Form:

$$U(t,\ c) = t^{\alpha} c^{1- \alpha}$$

wobei $0\lt \alpha \lt1$. Damit die Zahlen schön aufgehen, nehmen wir an, dass $\alpha= \dfrac{8}{13}$. Angelas Grenzrate der Substitution (GRS) zwischen Freizeit und Konsum von Getreide ergibt sich aus der üblichen Formel (erinnern Sie sich an Leibniz 3.4.1):

$$\text{GRS} = \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial c} \right. = \frac{\alpha c}{(1-\alpha)t} = \frac{8c}{5t}$$

Die Gleichung der Machbarkeitsgrenze sei $y=g(t)$. Um unübersichtliche Algebra zu vermeiden, nehmen wir für $g$ eine andere Form an als im ersten Beispiel:

$$g(t)= \frac{576 - t^2}{40}$$

Der Graph dieser Funktion ist zwar nicht derselbe wie der Graph der Machbarkeitsgrenze des vorigen Beispiels, hat aber die gleiche allgemeine Form und geht wieder durch die Punkte $(24, 0)$ und $(16, 8)$. Die Grenzrate der Transformation zwischen Angelas Freizeit und ihrer Getreideproduktion ist, wie üblich, der absolute Wert der Steigung der (fallenden) Machbarkeitsgrenze:

$$\text{GRT} = - g'(t) = \frac{t}{20}$$

Angesichts von Brunos Rente $R$ erfordert die Pareto-Effizienz der Allokation $(t,\ c,\ R)$, dass wir

$$\begin{align*} t \text{ und }c \text{ so wählen, dass }U(t,\ c), \text{maximiert wird,} \\ \text{vorbehaltlich der Bedingung, dass }g(t) - c =R \end{align*}$$

Die Bedingung erster Ordnung für die Maximierung, $\text{GRT} = \text{GRS}$, impliziert, dass $t^2/4 =8c$. Umgestellt,

$$c=\frac{t^2}{32}$$

Die Punkte, die diese Bedingung im positiven Quadranten der $t—c$-Ebene erfüllen, bilden den steigenden Teil der Parabel. Die Pareto-Effizienz-Kurve ist der Teil dieser Kurve, der wirtschaftlich möglich ist.

Bei der Pareto-effizienten Allokation, die für Bruno minimal akzeptabel ist, erhält er keine Pacht und Angela konsumiert das gesamte produzierte Getreide. Das heißt, bei dieser Allokation,

$$c=\frac{t^2}{32} \, \text{ und } \, c= \frac{576 - t^2}{40}$$

Substituiert man die erste Gleichung in die zweite und multipliziert sie mit $40$, so erhält man $5t^2/4 = 576 - t^2$. Daraus folgt:

$$t^2 = \frac{-76}{9/4} = 64 \times 4$$

Daraus folgt, dass $t = 16$ und $c = t^2/32 = 8$: Die Pareto-effiziente Allokation, bei der Bruno kein Getreide erhält (das heißt, Angela zahlt keine Pacht), ist die gleiche wie im vorherigen Beispiel. (Wir haben die Zahlen so gewählt, dass dies der Fall ist.)

Wir finden nun die Pareto-effiziente Allokation, die für Angela gerade noch akzeptabel ist. Wie im vorherigen Beispiel kann sie ihren Reservationsnutzen erzielen, indem sie keine Arbeit verrichtet und $2$ Scheffel Getreide pro Tag konsumiert. Bei der Pareto-effizienten Allokation erhält Angela also auch ihren Reservationsnutzen,

$$c=\frac{t^2}{32} \, \text{ und } \, t^{\alpha} c^{1- \alpha} = 24^{\alpha} \times 2^{1- \alpha}$$

Substituieren Sie die erste Gleichung in die zweite, $t^{2- \alpha} \! \left/ 32^{1- \alpha} \right. = 24^{\alpha} \times 2^{1- \alpha}$. Folglich:

$$t^{2- \alpha} = 24^{\alpha} \times 64^{1- \alpha} = 3^{\alpha} \times 8^{2- \alpha}$$

Da $\alpha= \dfrac{8}{13}$, $\, \dfrac{\alpha}{2- \alpha}= \dfrac{4}{9}$. Daher:

$$t = 3^{4/9} \times 8 = 13,036, \quad c = \frac{t^2}{32}= 5,311, \quad y = \frac{576 - t^2}{40}= 10,152$$

alle auf drei Nachkommastellen. Brunos Pacht $y-c$ beträgt $4,841$ auf drei Nachkommastellen. Da Angela ihren Reservationsnutzen erhält, ist dies die höchste Pacht, zu der Angela bereit ist, auf Brunos Land zu arbeiten.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Angelas Nutzenfunktion in diesem Fall nicht quasi-linear ist. Ihre Freizeit und damit auch ihre Arbeitsstunden sind bei den Pareto-effizienten Allokationen nicht konstant. Die Pareto-Effizienz-Kurve in der $t-c$-Ebene ist keine vertikale Linie, sondern der aufwärtsgerichtete Abschnitt der Parabel $c=t^2/32$, der den wirtschaftlich möglichen Allokationen entspricht. Sie reicht von dem Punkt $(13,036,\ 5,311)$, an dem Angela ihren Reservationsnutzen und Bruno seinen maximalen Pachtbetrag von $4,841$ Scheffel pro Tag erhält, bis zu dem Punkt $(16,\ 8)$, an dem Angela das gesamte von ihr produzierte Getreide verbraucht und Bruno keinen Pachtbetrag erhält.

Um sicherzugehen, dass Sie dieses Beispiel vollständig verstehen, versuchen Sie, die Kurve zu zeichnen und sie mit der Kurve im quasi-linearen Fall zu vergleichen.