Leibniz 6.6.1
Die Beste-Antwort-Funktion der Arbeitskraft
Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.
Wir haben die Interaktion zwischen einer beschäftigten Person und einem Unternehmen als ein Spiel dargestellt, in dem das Unternehmen den Lohn festlegt und die beschäftigte Person darauf reagiert, indem sie entscheidet, wie hart sie arbeitet. In diesem Leibniz-Artikel beschreiben wir die mathematischen Eigenschaften der Antwort der beschäftigten Person.
Die beschäftigte Person, Maria, ist an zwei Dingen interessiert: An ihrem Einkommen und daran, nicht zu hart arbeiten zu müssen. Aber Arbeit ist für sie mehr wert als die nächstbeste Option, nämlich Arbeitslosigkeit—sie verdient eine Beschäftigungsrente. Solange sie erwerbstätig ist, kann sie selbst entscheiden, wie viel sie arbeiten möchte. Der Grad ihrer Anstrengung, , ist der Anteil jeder Stunde, die sie mit Arbeit verbringt. Wenn sie sich zu wenig anstrengt, riskiert sie, entlassen zu werden und ihre Beschäftigungsrente zu verlieren. Die Höhe der Beschäftigungsrente hängt insbesondere von der Lohnhöhe ab. Für jede Lohnhöhe wählt sie den Arbeitsaufwand , der ihre beste Antwort auf die Situation ist, in der sie sich befindet. Ihre Beste-Antwort-Funktion ist eine Funktion, die uns sagt, welche Anstrengung sie bei jeder Höhe des Lohns gewählt hat:
Um Marias Entscheidung vollständig zu modellieren, könnten wir von ihrer Nutzenfunktion ausgehen und ihr Nutzenmaximierungsproblem lösen, um ihre beste Antwort auf jeden Lohn zu finden. In dieser Einheit konzentrieren wir uns jedoch auf die Interaktion zwischen Maria und dem Unternehmen. Daher überspringen wir diesen Schritt und beschreiben einfach, welche Form ihre Beste-Antwort-Funktion haben sollte (damit wir sie zeichnen können), indem wir uns überlegen, wie sie ihre Entscheidung trifft.
Die Form der Beste-Antwort-Funktion
Die Beste-Antwort-Funktion (Reaktionsfunktion), die wir im Text gezeichnet haben, hat die in Abbildung 1 dargestellte Form. Der von dem Unternehmen gewählte Lohn befindet sich auf der horizontalen Achse und das entsprechende von Maria gewählte Anstrengungsniveau befindet sich auf der vertikalen Achse.
Abbildung 1 Marias Beste-Antwort-Funktion.
Warum sollte die Funktion so aussehen? Erstens: Wenn der Lohn gleich dem Reservationslohn ist, ist ihre Beschäftigungsrente gleich null, sodass sie sich nicht anstrengen wird. Daher kreuzt die Funktion die horizontale Achse beim Reservationslohn. Zweitens arbeitet Maria härter, wenn sie mehr Lohn erhält. Dies geschieht, weil mit dem Lohn auch die Beschäftigungsrente steigt. Sie entscheidet sich also für einen höheren Arbeitseinsatz, um das Risiko zu verringern, entlassen zu werden und die Rente zu verlieren. Die Kurve steigt also nach oben. Mit anderen Worten: ist eine steigende Funktion von :
Die dritte Eigenschaft, die man in Abbildung 1 sehen kann, ist, dass die Steigung der Funktion mit steigendem abnimmt. Diese Eigenschaft ergibt sich, wenn, wie zu erwarten, die Grenzkosten (oder der negative Nutzen) der Anstrengung mit zunehmender Anstrengung steigen. Je höher der Lohn ist, desto höher ist Marias Anstrengung—aber desto schwieriger ist es für sie, ihre Anstrengung weiter zu erhöhen, wenn der Lohn noch ein wenig mehr steigt. Dies bedeutet, dass die Funktion konkav ist, und somit:
Andere Einflüsse auf die Beste-Antwort-Funktion
Die Beschäftigungsrente, die Maria den Anreiz gibt, hart zu arbeiten, hängt nicht nur vom Lohn ab. In Abschnitt 6.5 des Textes werden die Komponenten der Beschäftigungsrente im Detail erörtert. Die Rente pro Stunde besteht aus der Differenz zwischen dem Lohn und Marias Reservationseinkommen (zum Beispiel Arbeitslosengeld von der Regierung oder der Wert der Unterstützung ihrer Familie), abzüglich des negativen Nutzens der Anstrengung. Die Gesamtrente ist die Rente pro Stunde multipliziert mit der erwarteten Dauer der Arbeitslosigkeit (bevor Maria eine andere Arbeit findet).
Marias Wahl der Anstrengung hängt auch davon ab, wie genau sie von ihrem Unternehmen überwacht wird. Je höher die Wahrscheinlichkeit, dass sie in jeder Minute erwischt wird, in der sie auf Facebook surft, desto größer ist der Anreiz, hart zu arbeiten.
Diese zusätzlichen Faktoren, die den Aufwand beeinflussen, bestimmen die Position der Beste-Antwort-Funktion in der -Ebene und werden als Parameter der Beste-Antwort-Funktion bezeichnet. Änderungen in den Werten der Parameter verschieben die Beste-Antwort-Funktion. Eine Verlängerung der Dauer der Arbeitslosigkeit beispielsweise erhöht den Aufwand bei jedem Lohn und verschiebt die Kurve nach oben, während eine Erhöhung des Arbeitslosengeldes die Kurve nach unten verschieben würde.
Wir können die Auswirkungen von Nicht-Lohn-Faktoren beschreiben, indem wir sie als zusätzliche Variablen behandeln. Marias Beste-Antwort-Funktion könnte als Funktion von fünf Variablen statt einer geschrieben werden:
wobei
- und wieder für Arbeitseinsatz beziehungsweise Lohn stehen
- ist ein Maß für den negativen Nutzen der Anstrengung, ein Merkmal von Marias Nutzenfunktion
- ist die Wahrscheinlichkeit, erwischt zu werden, wenn sie nicht arbeitet
- ist ihr Arbeitslosengeld
- steht für die Dauer der Arbeitslosigkeit
Für gegebene Werte der zusätzlichen Variablen , , und hat die Beziehung zwischen und die in Abbildung 1 gezeigte Form: ist eine steigende und konkave Funktion von . Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir dies mit partiellen Ableitungen ausdrücken:
Die Auswirkungen der anderen Variablen können auch als partielle Ableitungen ausgedrückt werden. Aus der obigen Diskussion können wir sehen, dass:
Marias Anstrengung ist also eine abnehmende Funktion des negativen Nutzens der Anstrengung und des Arbeitslosengeldes und eine zunehmende Funktion der Wahrscheinlichkeit, beim Nichtstuen erwischt zu werden, und der Dauer der Arbeitslosigkeit.
Lesen Sie weiter: Abschnitt 14.1 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.
