Leibniz 6.7.1

Gewinn, Lohn und Einsatz

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

In der Interaktion zwischen Maria und ihrem Unternehmen wählt das Unternehmen den Lohn aus und die beschäftigte Person reagiert darauf, indem sie entscheidet, wie viel sie arbeitet. In diesem Leibniz-Artikel analysieren wir die Lohnentscheidung des Unternehmens mathematisch.

Wie sollte das Unternehmen den Lohn wählen? Wir werden zunächst zeigen, dass zur Gewinnmaximierung der Lohn gewählt werden sollte, der die Kosten pro Einheit Aufwand minimiert, wobei wir berücksichtigen, wie Maria reagieren wird.

Wenn das Unternehmen Maria für $H$ Stunden pro Woche beschäftigt und ihr Aufwand $e$ beträgt, leistet sie $N$ Stunden produktiver Arbeit, wobei $J=eH$. Angenommen, die Produktionsfunktion des Unternehmens ist $f(J)$, und der Output kann zu einem Preis $p$ verkauft werden, dann kann der Gewinn, den wir mit der Großbuchstabenform des griechischen Buchstabens ‚pi‘, $\Pi$, bezeichnen, wie folgt geschrieben werden:

$$\Pi=pf(eH)-wH$$

Dem Unternehmen steht es frei, den Lohn und auch die Anzahl der Stunden, für die Maria beschäftigt wird, zu wählen; Maria wird ihren eigenen Aufwand wählen. Das Unternehmen möchte also $w$ und $H$ wählen, um $\Pi$ zu maximieren, wobei es weiß, dass Maria unabhängig von der Wahl des Lohns mit einer Entscheidung reagieren wird:

$$e = E(w)$$

Wenn man über dieses Problem nachdenkt, ist es nicht offensichtlich, dass das Unternehmen den Lohn wählen sollte, der die Kosten der Anstrengung, $w/e$, minimiert—obwohl wir im Text argumentiert haben, dass es dies tun sollte. Um es mathematisch zu sehen, ist es hilfreich, die Gewinne in Form von $w$ und $N$ umzuschreiben, statt in Form von $w$ und $H$ (zur Erinnerung: $J$ ist der Input). Substituiert man $H=J/e$, so erhält man:

$$\Pi=pf(J)-\frac{w}{e}J \quad\mbox{wobei } e=E(w)$$

Wir sehen nun, dass der Gewinn von der Anzahl der Einheiten der Arbeit, $J$, und den Kosten pro Einheit der Arbeit (oder des Aufwands), $w/e$, abhängt. Um den Gewinn zu maximieren, sollte das Unternehmen den Lohn so festlegen, dass die Kosten $w/e$ so niedrig wie möglich sind.

Die Wahl des Lohns

Wir haben gezeigt, dass das Unternehmen den Lohn so wählen sollte, dass die Kosten pro Einheit der Arbeit $w/e$ minimiert werden, wobei zu berücksichtigen ist, dass Maria $e=E(w)$ wählen wird. Nach der Quotientenregel:

$$\frac{d}{dw} \left(\frac{w}{E(w)}\right) = \frac{E(w)-wE'(w)}{E(w)^2}$$

Wir erhalten die Bedingung erster Ordnung für die Kostenminimierung, indem wir diesen Ausdruck gleich null setzen. Der kostenminimierende Lohn $w^*$ erfüllt also die Gleichung:

$$E'(w^*)= E(w^*)/w^*$$

In der alternativen Notation für Ableitungen kann die Gleichung wie folgt geschrieben werden:

$$\frac{de}{dw} = \frac{e}{w}$$

Diese Bedingung für den Lohn ist in Abbildung 1 dargestellt, die Abbildung 6.6 des Textes wiedergibt. Die Geraden sind die Isokostengeraden für den Aufwand, die die Steigung $e/w$ haben. Im Punkt A ist die obige Gleichung erfüllt: Die Steigung der Isokostengeraden $e/w$ ist gleich der Steigung der Beste-Antwort-Funktion der beschäftigten Person, $de/dw$. Für die in diesem Diagramm dargestellte Beste-Antwort-Funktion ist $w^*=12$, und das entsprechende Anstrengungsniveau ist $E(w^*)$ = 0,5.

In dem Diagramm entsprechen die steileren Isokostengeraden niedrigeren Kosten pro Einheit des Aufwands (höher $e/w$, niedriger $w/e$). Wir können also sehen, dass Punkt A der kostenminimierende Punkt auf der Kurve der besten Antwort ist. Um mathematisch zu prüfen, ob der Lohn, der die Bedingung erster Ordnung erfüllt, $w^*$, einem Minimalpunkt der Funktion $w/E(w)$ entspricht, müssen wir die zweite Ableitung berechnen und prüfen, ob es positiv ist, wenn $w=w^*$. Dabei stellt man fest, dass die konkave Form der Beste-Antwort-Funktion, mathematisch ausgedrückt durch die Bedingung $E’’(w)\lt0$, garantiert, dass $w^*$ die Kosten minimiert.

Die Wahl der Arbeitsstunden

Nachdem der gewinnmaximierende und kostenminimierende Lohn $w^*$ bestimmt wurde, kann das Unternehmen entscheiden, wie viele Einheiten Arbeitsaufwand $J$ zur Gewinnmaximierung erforderlich sind. Wenn der Lohn gleich $w^*$ gesetzt wird, sind die Gewinne gleich:

$$\Pi=pf(J)-\frac{w^*}{E(w^*)}J$$

Differenziert man nach $N$ und setzt die Ableitung gleich Null, so erhält man eine Gleichung für den gewinnmaximierenden Input $J^*$:

$$pf'(J^*) = \frac{w^*}{E(w^*)}$$

Diese Gleichung hat eine ökonomische Interpretation. $f'(J)$ ist das Grenzprodukt einer zusätzlichen Einheit des Arbeitsaufwands, und somit ist $pf'(J)$ der Grenzertrag, den das Unternehmen aus einer Einheit des Arbeitsaufwands erzielt. Das Unternehmen maximiert den Gewinn, indem es $J$ so wählt, dass der Grenzertrag gleich den Grenzkosten einer zusätzlichen Einheit, $w^*/E(w^*)$, ist.

Nachdem das Unternehmen die optimale Anzahl von Einheiten des Arbeitsaufwands, $J^*$, gefunden hat und weiß, dass Maria ein Aufwandsniveau von $E(w^*)$ wählen wird, kann das Unternehmen schließlich aus der Beziehung $H=J/e$ die Anzahl der Stunden ermitteln, für die es sie beschäftigen sollte.

Ein Beispiel

Nehmen wir an, Marias Reservationslohn sei $w_r$ (eine positive Konstante) und ihre Beste-Antwort-Funktion sei:

$$E(w) = k(w-w_r)^\alpha \quad (w\gt w_r)$$

wobei $k$ und $\alpha$ ebenfalls positive Konstanten sind, mit $\alpha \lt 1$. Die Bedingung erster Ordnung für den gewinnmaximierenden Lohn, $E'(w^*)= E(w^*)/w^*$, lautet dann:

$$\alpha k(w^* -w_r)^{\alpha-1} = k(w^*-w_r)^\alpha /w^*$$

Dividiert man durch die rechte Seite, so erhält man $\alpha w^*/(w^* -w_r) =1$, und somit:

$$w^* = \frac{w_r}{1 - \alpha}$$

Beachten Sie, dass $w^*$ von $w_r$ und $\alpha$ abhängt, aber nicht von $k$. Die Zahlen in Abbildung 1 entsprechen dem Fall, dass $w_r =6$, $\alpha=0,5$ und $k = 0,5/\sqrt{6}$.

Das Unternehmen legt $w^* = w_r/(1 - \alpha)$ fest, und Maria wählt daraufhin ihr Leistungsniveau:

$$E(w^*) = k \left(\frac{\alpha w_r}{1 - \alpha}\right)^\alpha$$

Lesen Sie weiter: Abschnitte 7.1 und 8.1 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.