Leibniz 7.3.1

Durchschnitts- und Grenzkostenfunktionen

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Die Gesamtkosten der Produktion eines produzierenden Unternehmens wie Beautiful Cars umfassen die Miete für die Fabrik, die Miete für Anlagen und Maschinen, den Preis für Rohstoffe (einschließlich Versorgungsdienstleistungen, wie Wasser, Strom und Gas) und die Löhne aller Beschäftigten. Die Kostenfunktion $C(Q)$ beschreibt, wie die Gesamtkosten des Unternehmens mit seinem Output—der Anzahl der produzierten Autos $Q$—variieren. In diesem Leibniz-Artikel zeigen wir, wie die Durchschnittskosten- und Grenzkostenfunktionen des Unternehmens mit $C(Q)$ zusammenhängen.

Im Allgemeinen steigen die Gesamtkosten mit der produzierten Menge. Im Folgenden behandeln wir $Q$ als eine kontinuierliche Variable, eine übliche und nützliche Annäherung, wenn es um große Zahlen geht. Es ist dann sinnvoll, anzunehmen, dass die Funktion $C$ differenzierbar ist. Die Tatsache, dass es eine steigende Funktion ist, kann durch folgende Ungleichung beschrieben werden:

$$C'(Q)\gt0$$

Der Graph der Funktion $C$ ist im oberen Feld der Abbildung 7.7 dargestellt, die im Folgenden Abbildung 1 genannt wird. Man beachte, dass $C(0)=F\gt0$; selbst wenn keine Autos produziert werden, entstehen dem Unternehmen gewisse Kosten, $F$, die als Fixkosten bezeichnet werden. In dem Diagramm ist $C$ eine steigende Funktion und sie ist außerdem konvex: Die Steigung der Kurve nimmt mit steigendem $Q$ zu. Wir werden weiter unten mehr dazu sagen.

Die (totalen) Durchschnittskosten (TDK) der Produktion von Beautiful Cars sind definiert als die Gesamtkosten geteilt durch die Anzahl der produzierten Autos. Wenn also $Q$ Autos produziert werden:

$$\text{TDK} = \frac{C(Q)}{Q}$$

Im oberen Feld der Abbildung 1 sind die Durchschnittskosten für die Produktion von $Q$ Autos die Steigung der Linie vom Punkt $(Q, C(Q))$ zum Ursprung. Aus dem Diagramm ist ersichtlich, dass die Steigung mit $Q$ variiert: Die Durchschnittskosten TDK sind selbst eine Funktion von $Q$. Der Graph der Funktion $TDK(Q)$ ist im unteren Teil der Abbildung 1 dargestellt.

Die Grenzkosten (GK) sind die Rate, mit der die Kosten steigen, wenn $Q$ zunimmt. Wenn also $Q$ Autos produziert werden:

$$\text{GK} =C'(Q)$$

Sie können GK, wie im Text, als die Kosten für die Produktion eines weiteren Autos interpretieren: Aber denken Sie daran, dass dies nur ein Näherungswert ist. Geometrisch gesehen ist GK die Steigung der Kurve $C(Q)$, die im oberen Feld der Abbildung 1 dargestellt ist. Wie bereits erwähnt, hat diese Kostenfunktion die Eigenschaft, dass die Steigung mit steigendem $Q$ zunimmt: Wir nehmen an, dass für Beautiful Cars die Kosten für die Produktion eines zusätzlichen Autos eine steigende Funktion der Anzahl der bereits produzierten Autos sind. Dies bedeutet, dass die Grenzkosten eine steigende Funktion von $Q$ sind. Die Grenzkostenfunktion ist als steigende Linie im unteren Feld der Abbildung 1 dargestellt.

Überlegen Sie nun, wie die Funktion der Durchschnittskosten aussieht. Wenn man sich vor Augen hält, dass die Durchschnittskosten die Steigung des Fahrstrahls von $C(Q)$ zum Ursprung sind, kann man aus dem oberen Feld der Abbildung 1 ersehen, dass die Durchschnittskosten hoch sind, wenn $Q$ niedrig ist; sie nehmen dann allmählich ab bis zum Punkt B, wo $Q=40$, bevor sie wieder ansteigen. Dies spiegelt sich im unteren Feld durch die U-förmige TDK-Kurve wider, die bei $Q=40$ ein Minimum aufweist. Das Diagramm zeigt auch, dass $\text{GK} \lt \text{TDK}$, wenn $Q \lt 40$, $\text{GK} \gt \text{TDK}$, wenn $Q \gt 40$ und $\text{GK} = \text{TDK}$, wenn $Q = 40$. Man kann es auch so ausdrücken, dass $\text{GK} - \text{TDK}$ immer das gleiche Vorzeichen hat wie die Steigung der TDK-Kurve. Wir beweisen nun, dass dies immer zutrifft, unabhängig von der Form der Kostenfunktion.

Nach der Quotientenregel:

$$\frac{d}{dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) = \frac{QC'(Q)- C(Q)}{Q^2}$$

Nun ist $C'(Q)= \text{GK}$ und $C(Q) = Q \times \text{TDK}$. Daraus folgt:

$$\frac{d}{dQ} (\text{TDK} ) = \frac{\text{GK}-\text{TDK}}{Q}$$

Da $Q\gt0$, folgt daraus, dass die Steigung der TDK-Kurve bei jedem Wert von $Q$ das gleiche Vorzeichen wie $\text{GK} - \text{TDK}$ hat, was wir beweisen wollten.

Lesen Sie weiter: Abschnitte 6.4 und 8.1 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.