Leibniz 3.5.1 Asignación óptima de tiempo libre: la TMT y la TMS

Alexei quiere obtener la calificación más alta posible en el examen y, al mismo tiempo, quiere sacrificar la menor cantidad posible de tiempo libre. Hemos visto esquemáticamente que maximiza su utilidad al elegir el punto donde una curva de indiferencia es tangencial a la frontera factible, en el que la tasa marginal de sustitución (TMS) es igual a la tasa marginal de transformación (TMT). En este Leibniz mostramos cómo formular matemáticamente la decisión de Alexei como un problema de optimización restringido y lo resolvemos para encontrar la combinación óptima de calificación y tiempo libre.

La elección de la combinación óptima de tiempo libre y nota en el examen por parte de Alexei se ilustra en la figura 1, y combina su conjunto factible y las curvas de indiferencia. El óptimo se logra en el punto E de la frontera factible, donde tiene la misma pendiente que la curva de indiferencia.

La función de utilidad de Alexei es $U(t,\ y)$. La utilidad depende positivamente de las horas de tiempo libre $t$ y de las notas $y$. Alexei desea maximizar su utilidad, dada la restricción impuesta por su conjunto factible de calificaciones y tiempo libre. Como en el Leibniz 3.4.1, si la función de producción es $y=f(h)$, donde $h$ es horas de estudio, la ecuación de la frontera factible es:

$$y = f(24 - t)$$

Por lo tanto, el problema de Alexei es elegir $t$ y $y$ para maximizar $U(t,\ y)$ sujeto a la restricción $y=f(24 - t)$.

problema de optimización restringida

Problemas en los que un decisor elige los valores de una o más variables para lograr un objetivo (como, por ejemplo, maximizar la ganancia) sujeto a una restricción que determina el conjunto factible (como la curva de demanda).

Este es un ejemplo de lo que se conoce en matemáticas como un problema de optimización restringida. A veces, en este tipo de problema, la restricción se expresa como una desigualdad: $y \leq f(24 - t)$, que puede interpretarse como una exigencia de que la elección quede dentro del conjunto factible. Ahora bien, como la utilidad depende positivamente de $t$ y $y$, sabemos que Alexei querrá elegir un punto en la frontera. Así que podemos escribir la restricción como una ecuación, lo que hace que el problema sea más fácil de resolver matemáticamente.

Una forma de resolver el problema de Alexei es usar la restricción para sustituir $y$ en términos de $t$ en la función de utilidad. Así conseguimos expresar la utilidad como una función de una única variable $t$:

$$U(t,\ y) = U(t,\ f\left( 24 - t \right))$$

que puede maximizarse con respecto a $t$ al equiparar su derivada a cero. Esta derivada es la derivada total de la utilidad con respecto a $t$, que se puede calcular de la manera habitual a través de la regla de la cadena:

$$\frac{dU}{dt} = \frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial U}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$

El término $\dfrac{dy}{dt}$ en el lado derecho se calcula derivando la función de producción $y= f(24- t)$:

$$\frac{dy}{dt} = -f'(24- t)$$

por la regla de función compuesta, lo que implica:

$$\frac{dU}{dt} = \frac{\partial U}{\partial t} - \frac{\partial U}{\partial y} f'(24 - t)$$

Esta ecuación nos dice que, a medida que avanzamos a lo largo de la frontera factible aumentando $t$, el efecto neto en la utilidad es resultado del efecto directo de más tiempo libre, que por supuesto es positivo, combinado con el efecto indirecto negativo de una menor nota.

En el punto que resuelve el problema de maximización de Alexei, $\dfrac{dU}{dt}=0$. Así que en este punto:

$$\frac{\partial U}{\partial t} = \frac{\partial U}{\partial y} f'(24- t)$$

Esto tiene una interpretación obvia en términos de los dos efectos sobre la utilidad mencionados en el párrafo anterior: en el punto óptimo, el efecto positivo de un poco más de tiempo libre y el efecto negativo de una nota ligeramente más baja se equilibran entre sí.

Reorganizando la última ecuación, vemos que:

$$f'\left( 24 - t \right) = \frac{\frac{\partial U}{\partial t}}{\frac{\partial U}{\partial y}}$$

en el punto óptimo. El lado izquierdo es el valor absoluto de la pendiente de la frontera factible, lo que llamamos la tasa marginal de transformación (TMT) en el Leibniz 3.4.1 y, como vimos en el Leibniz 3.2.1, el lado derecho es el valor absoluto de la pendiente de la curva de indiferencia, que llamamos la tasa marginal de sustitución (TMS). Por lo tanto, en el punto óptimo, las pendientes son iguales, como en la figura 1. En otras palabras,

$$\text{TMT}=\text{TMS}$$

Esto es lo que se conoce como condición de primer orden para la optimización, ya que se obtuvo al igualar una primera derivada (en este caso, la derivada total $\frac{dU}{dt}$) a cero. Debido a que gran parte de la economía trata sobre optimizaciones restringidas, va a encontrar usted condiciones similares en otros Leibniz posteriores.

Recuerde que queremos encontrar los valores de $t$ y $y$ que maximicen la utilidad de Alexei. Hasta ahora hemos demostrado que los valores de $t$ y $y$ que estamos buscando deben satisfacer la condición de primer orden. Para resolver el problema completamente y encontrar los valores óptimos, cerciorémonos de que también estén en la frontera factible. Así que tenemos un par de ecuaciones simultáneas:

$$f'\left( 24 - t \right) = \frac{\frac{\partial U}{\partial t}}{\frac{\partial U}{\partial y}}$$ $$y = f(24 - t)$$

que debe resolverse para $t$ y $y$. En la siguiente sección derivaremos estas ecuaciones para funciones de utilidad y producción concretas, y las resolveremos para encontrar los valores óptimos de $t$ y $y$.

Puede leer más sobre este tema en las secciones 8.1 a 8.3 (maximización) y la sección 14.2 (distinción entre el derivado total y parcial) de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press

Asignación óptima de tiempo libre: un ejemplo

Ahora vamos a ilustrar los principios que hemos visto en la sección anterior con funciones concretas de producción y utilidad.

restricción presupuestal

Ecuación que representa todas las combinaciones de bienes y servicios que se podrían adquirir, que agoten exactamente los recursos propios presupuestados. También conocida como: restricción presupuestaria.

El problema de la optimización restringida tiene dos partes: la función objetivo, que describe la utilidad que Alexei quiere maximizar, y la restricción, que en este caso es la función de producción de Alexei para la nota del examen.

En el Leibniz 3.2.1 supusimos que Alexei tiene una función de utilidad de Cobb-Douglas:

$$U (t,\ y)= t^a y^b$$

donde $a$ y $b$ son constantes positivas. (Utilizamos $a$ y $b$ en lugar de $\alpha$ y $\beta$ porque utilizaremos $\alpha$ en la función de producción).

Al igual que en el Leibniz 3.1.1, asumimos que la relación que describe cómo Alexei convierte las horas de estudio $h$ en nota de examen $y$ es

$$y = Ah^{\alpha}$$

donde $A$ y $\alpha$ son constantes positivas y $\alpha \lt 1$. También, como antes, podemos escribir esta función de producción en términos de horas de tiempo libre $t$, ya que $h = 24 -t$. Haciendo esto, y asumiendo para simplificar que $A=1$, llegamos a esto:

$$y = {(24 - t)}^{\alpha}$$

Esta es la ecuación de la frontera factible de producción.

El problema de Alexei es elegir $t$ y $y$ para maximizar $t^a y^b$, sujeto a la restricción:

$$y = \left(24- t \right)^\alpha$$

La sección anterior nos brinda dos formas de resolver este problema: podemos usar el método de sustitución o aplicar la fórmula. Demostraremos ambos y confirmaremos que nos dan la misma respuesta.

Aplicación de la fórmula

Por «la fórmula» nos referimos a la condición de primer orden $\text{TMT} = \text{TMS}$. Sabemos que la solución al problema debe satisfacer esta condición, por lo que calculamos la TMT con base en la frontera factible y la TMS con base en la función de utilidad e igualamos las dos.

Como vimos en el Leibniz 3.4.1, la TMT es el valor absoluto de la pendiente de la frontera factible. Usando la ecuación de arriba para la frontera:

$$\text{TMT} = \left|\frac{dy}{dt}\right| = \alpha \left( 24 - t \right)^{\alpha -1} = \frac{\alpha y}{ 24 - t}$$

Además, ya mostramos en Leibniz 3.2.1 que la TMS es la razón entre las utilidades marginales. Las utilidades marginales se calculan al derivar la función de utilidad:

$$\frac{\partial U}{\partial t} = at^{a - 1}y^{b}$$ $$\frac{\partial U}{\partial y} = bt^{a}y^{b - 1}$$

Así que la TMS viene dada por:

$$\text{TMS} = \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. = \frac{a y}{b t}$$

Igualando la TMT con la TMS y multiplicando por $\frac{t}{y}$,

$$\frac{\alpha t}{24 - t} = \frac{a}{b}$$

Resolviendo esta ecuación para despejar $t$, vemos que $t = \frac{24}{(1+c)}$, donde $c=\frac{\alpha b}{a}$. Al sustituir esto en la función de producción, obtenemos la solución completa al problema de Alexei:

$$t = \frac{24}{1+c}, \; \; y = \left(\frac{24c }{1+c} \right)^\alpha, \, \text{donde}\ c=\frac{\alpha b}{a}$$

Estos son los valores de $t$ y $y$ que le dan a Alexei la máxima utilidad posible dentro del conjunto factible.

Aplicación del método de sustitución

El método consiste en sustituir la restricción en la función objetivo para transformarla en una función de una sola variable y maximizar esa función. Sustituyendo la restricción $y = \left(24- t \right)^\alpha$ en la función de utilidad, obtenemos una expresión de la utilidad como una función de $t$ únicamente:

$$U = t^a \left(24 - t \right)^{\alpha b}$$

Para maximizar $U$, calculamos $dU/dt$ e igualamos a cero. Usando la regla del producto para derivar,

$$\frac{dU}{dt} = a t^{a-1}(24 - t )^{\alpha b} - \alpha b t^a (24- t )^{\alpha b-1}$$

Al igual que en el análisis general de la sección anterior, esto expresa el efecto neto sobre la utilidad de un aumento en $t$ como resultado de un efecto directo positivo y el efecto negativo de una calificación de examen más baja.

Igualando $dU/dt$ a cero y dividiendo la ecuación resultante por $t^{a-1}(24 - t )^{\alpha b}$, vemos que $a = \frac{\alpha b t}{24 – t}$. Reacomodando los términos,

$$\frac{\alpha t}{24 - t} = \frac{a}{b}$$

Esta es la misma ecuación para $t$ que obtuvimos utilizando $\text{TMT} = \text{TMS}$, y el resto de la solución es como antes.

Puede leer más sobre este tema en las secciones 8.1 a 8.3 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.