Leibniz 22.2.2 ¿Cómo establece el monopolista el nivel de impuestos que maximiza sus rentas?

En nuestro modelo de impuestos recaudados por un dictador que es un monopolista político, el dictador desea maximizar las rentas políticas que recibirá mientras ocupe el cargo. Ahora bien, a la hora de establecer el nivel de impuestos, el dictador está limitado por la curva de duración: cuanto mayor sea el nivel anual de impuestos, menos años adicionales esperará permanecer en el cargo. Aquí resolveremos matemáticamente el problema de optimización restringida del dictador para encontrar su nivel de impuestos óptimo.

En el Leibniz 22.2.1 derivamos una expresión para la curva de duración en el cargo de un dictador que puede ser destituido por razones de desempeño (establecer un nivel de impuestos demasiado alto) o por razones no relacionadas con el desempeño. Su duración esperada en el cargo, $D$, disminuye cuando el impuesto anual $T$ aumenta, por lo que podemos decir que la duración es una función decreciente respecto del impuesto, función que podemos escribir como $D=f(T)$.

La renta del dictador, $R$, depende tanto de $D$ como de $T$. El coste de provisión de los servicios públicos es $C$. Por tanto, la renta política anual es $T - C$ y la renta total obtenida por un dictador con duración esperada $D$ es:

$$R(D,\ T)=(T-C)D$$

El problema de optimización restringida del dictador es

$$\text{maximizar }(T-C)D \text{ sujeto a }D=f(T)$$

Para resolver este problema, usamos la restricción para sustituir $D$, de manera que la renta es $(T-C)f(T)$, y entonces derivamos respecto de $T$ para obtener la condición de primer orden:

$$f(T)+f'(T)(T-C)=0$$

El primer término es el beneficio marginal de elevar una unidad el impuesto. El dictador recauda una unidad adicional de renta durante el tiempo que permanezca en el poder. El segundo término es negativo porque $f(T)$ es una función decreciente que representa el coste marginal para el dictador de elevar su renta, que es que recibirá la renta $T-C$ durante un período más corto.

El nivel óptimo de impuesto del dictador $T^*$ satisface esta ecuación. Una vez hayamos encontrado $T^*$, podemos determinar la duración correspondiente a partir de la ecuación $D^*=f(T^*)$. Lo demostraremos con un ejemplo concreto más adelante.

La figura 22.6 del texto, reproducida como figura 1 a continuación, ilustra la solución del problema de optimización del dictador.

La solución $(D^*,\ T^*)$ se halla en el punto B del gráfico, donde la curva de duración es tangente a una curva de isorrenta. Para mostrar que este punto coincide con el que hemos calculado antes matemáticamente, podemos reordenar la condición de primer orden para escribirla como:

$$-\frac{1}{f'(T)}=\frac{T-C}{D}$$

Con esta forma, la condición de primer orden nos dice lo mismo que el gráfico: en B, la pendiente de la curva de duración es igual a la pendiente de la curva de isorrenta. Para verificarlo podemos calcular ambas pendientes:

• Hemos expresado la curva de duración como $D^*=f(T^*)$, de lo que se desprende que $dD/dT=f'(T)$. Ahora bien, en la figura hemos dibujado la curva con $T$ en el eje vertical, por lo que la pendiente es $dT/dD= 1/f'(T)$. Como $f'(T)$ es negativa para todo $T$, el lado izquierdo de la ecuación es el valor absoluto de la pendiente de la curva de duración. Podemos interpretarlo como la tasa marginal de transformación (TMT) entre impuestos y tiempo en el cargo.
• La ecuación de una curva isorrenta es $R(D,\ T)=k$, donde $k$ es una constante. Para calcular la pendiente, podemos aplicar el método usado para las curvas de indiferencia en el Leibniz 3.2.1. No obstante, en este caso es más fácil escribir la curva de isorrenta como $T=C+k/D$ y luego calcular la derivada para obtener $dT/dD=-k/D^2=-(T-C)/D$. En consecuencia, el término derecho de la ecuación anterior es el valor absoluto de la pendiente de la curva de isorrenta, que puede interpretarse como la tasa marginal de sustitución (TMS) del dictador entre imposición y duración.

Un ejemplo

En el análisis anterior no especificamos una forma concreta para la curva de duración, pero supongamos que es lineal, como se muestra en la figura 1. Su ecuación puede escribirse entonces como $D=f(T)$, donde

$$f(T)=D^\text{max}-\frac{1}{s}(T-C)$$

y $s$ es una constante positiva. Derivando $f$ se puede comprobar que $s=-1/f'(T)$, por lo que $s$ representa el valor absoluto de la pendiente de la línea en la figura 1 (es decir, la TMT). Con esta curva de duración, la condición de primer orden $f(T)+f'(T)(T-C)=0$ se convierte en:

$$D^\text{max}-\frac{1}{s}(T-C) -\frac{1}{s}(T-C)=0$$

que puede resolverse para obtener:

$$T^*=C+\frac{s}{2} D^\text{max}$$

y, como $D^*=f(T^*)$,

$$D^*= \frac{1}{2} D^\text{max}$$

Observe que el nivel de impuestos elegido por el dictador será mayor cuando la curva de duración tenga más inclinación (es decir, cuando $s$ sea mayor). Este es un caso similar al de una empresa maximizadora de beneficios, que establece un precio mayor cuando la curva de demanda es menos elástica (tiene más pendiente). En este caso, sin embargo, la duración esperada correspondiente será la misma para cualquier pendiente $s$ de la curva de duración. Volveremos a esta cuestión en el Leibniz 22.3.1.