Leibniz 4.4.1 Optimaalinen jako altruististen preferenssien tapauksessa

Anil on voittanut lotossa ja miettii, mitä tekisi 10 000 rupian voittopotillaan. Hänellä on altruistiset preferenssit: hän iloitsee voitosta mutta muistaa myös naapuriaan Balaa, joka ei voittanut mitään. Anilin päätöstä voi mallintaa rajoitettuna optimointiongelmana.

Leibniz-osiossa 3.5.1 ratkoimme Alexein rajoitettua optimointiongelmaa. Alexei halusi valita sellaisen vapaa-ajan $t$ ja tenttiarvosanan $y$ yhdistelmän, joka maksimoi hänen hyötynsä $U(t,\ y)$ tenttiarvosanaa kuvaavan tuotantofunktion sanelemissa rajoissa. Alexein ongelman voi ilmaista näin:

$$\text{valitse } t \text{ ja } y \text{, joilla } U(t,\ y) \text{ maksimoituu, kun } y=f(24- t)$$

Funktio $f$ on Alexein tuotantofunktio.

Optimaalisessa pisteessä Alexein on mahdollista vaihtaa vapaatunteja arvosanapisteisiin siinä suhteessa, jossa hän on halukas niitä vaihtamaan. Toisin sanoen Alexein rajamuunnossuhde on sama kuin rajasubstituutiosuhde. Nimitimme tätä Alexein ensimmäisen kertaluvun optimiehdoksi.

Anilin ongelman voi ilmaista samassa muodossa. Myös Anil maksimoi hyötyään, joka riippuu kahdesta hyödykkeestä: hänen saamistaan rahoista ja Balan saamista rahoista. Häntä koskee rajoite, sillä hänellä on tasan 10 000 rupiaa jaettavaksi. Merkitsemme Anilin rahoja $x$, Balan rahoja $y$ ja Anilin hyötyfunktiota $U(x,\ y)$. Anilin ongelman voi ilmaista näin:

$$\text{valitse } x \text{ ja } y \text{, joilla } U(x,\ y) \text{ maksimoituu, kun } x + y = 10~000$$

Yhtälö $x + y = 10~000$ kuvaa lottovoiton jakomahdollisuuksien rajaa, kun Anil ei hukkaa voittorahoja eikä joudu maksamaan niistä veroja.

Leibniz-osiossa 3.5.1 esittelimme kaksi menetelmää rajoitetun optimointiongelman ratkaisuun. Sijoitusmenetelmässä sijoitamme rajoitteen yhtälön tavoitefunktioon. Toinen menetelmä – jota sovellamme Anilin ongelmaan – on käyttää ensimmäisen kertaluvun optimiehtoa

$$\text{MRT} = \text{MRS}.$$

Ehto on esitetty graafisesti kuviossa 1, joka on sama kuin luvun 4 kuvio 4.5. Optimaalinen allokaatio $B$ on piste, jossa Anilin samahyötykäyrä ja rajoite eli mahdollisuuksien raja sivuavat toisiaan.

Jos tunnemme Anilin preferenssit eli hänen hyötyfunktionsa, voimme määrittää pisteen $B$ ratkaisemalla rajoitetun optimointiongelman. Oletetaan, että Anilin hyötyfunktio on samanlainen Cobb–Douglas-funktio kuin Alexeilla:

$$U(x,\ y) = x^\alpha y^\beta,$$

jossa $\alpha$ ja $\beta$ ovat positiivisia vakioita. Saamme rajahyödyt jälleen selville osittaisderivoimalla:

$$\frac{\partial U}{\partial x} = \alpha x^{\alpha -1} y^\beta = \frac{\alpha U}{x}, \quad \frac{\partial U}{\partial y} = \beta x^\alpha y^{\beta -1} = \frac{\beta U}{y}$$

Anilin rajasubstituutiosuhde eli samahyötykäyrän kulmakertoimen itseisarvo on rajahyötyjen suhdeluku:

$$\text{MRS }= \left.\frac{\partial U}{\partial x}\middle/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. = \left. \frac{\alpha U}{x} \middle/ \frac{\beta U}{y}\right. = \frac{\alpha y}{\beta x}$$

Rajamuunnosaste on mahdollisuuksien rajan $x + y = 10~000$ kulmakertoimen itseisarvo. Järjestelemällä termit muotoon $y = 10~000 - x$ näemme, että kulmakerroin on $-1$. Tällöin

$$\text{MRT} = 1.$$

Anil voi siis vaihtaa omaa rahaansa Balan rahoiksi yhden suhteessa yhteen. Saamme Anilin optimaaliselle päätökselle ensimmäisen kertaluvun ehdon merkitsemällä rajasubstituutiosuhteen ja rajamuunnossuhteen yhtä suuriksi:

$$\alpha y = \beta x$$

Tämän ehdon täyttää ääretön määrä $xy$-tason pisteitä: kaikki pisteet, joissa samahyötykäyrän kulmakerroin on $-1$. Ne sijaitsevat origon kautta kulkevalla suoralla. Haluamme selvittää, mikä niistä sijaitsee jakomahdollisuuksien rajalla. Saamme Anilin optimaalisen pisteen yhtälöparista:

$$x+y=10~000, \quad \beta x - \alpha y = 0$$

Voit johtaa muuttujan $y$ lausekkeen ensimmäisestä yhtälöstä ja sijoittaa sen toiseen yhtälöön. Yhtälöparin ratkaisu on

$$x = \frac{10~000 \, \alpha}{\alpha +\beta}, \quad y = \frac{10~000 \, \beta}{\alpha +\beta}.$$

Jos Anilin preferenssien mukaan $\alpha =0,7$ ja $\beta=0,3$, saamme muuttujien arvoiksi $x =7~000$ ja $y=3~000$, kuten luvun 4 tekstissä. Anil antaa Balalle 3 000 rupiaa ja pitää itsellään 7 000 rupiaa.

Ratkaisun voi ilmaista myös käyttämällä Anilin ja Balan osuuksia voittopotista:

$$\frac{x}{10~000} = \frac{\alpha}{\alpha +\beta}, \quad \frac{y}{10~000} = \frac{\beta}{\alpha +\beta}$$

Edeltävistä lausekkeista voit havaita, että optimaaliset osuudet ovat samat $\alpha/(\alpha +\beta)$ and $\beta/(\alpha +\beta)$, vaikka jakaja $10~000$ korvattaisiin jollain muulla positiivisella luvulla. Anilille ja Balalle allokoitavat osuudet eivät riipu palkinnon suuruudesta. Tämän havainnon perusteella voimme esittää Anilin hyötyfunktion parametreille $\alpha$ ja $\beta$ tulkinnan: mitä suurempi kerroin $\alpha$ verrattuna kertoimeen $\beta$, sitä enemmän Anil arvostaa itse saamaansa rahaa verrattuna Balan saamaan rahaan.

Toinen havainto, jonka tuloksesta voi tehdä, on se, että Anilin optimaalinen yhdistelmä riippuu ainoastaan kertoimien $\alpha$ ja $\beta$ suhteesta. Anil valitsisi samoin, jos $\alpha =70$ ja $\beta=30$, koska hänen samahyötykäyränsä olisivat täsmälleen samanmuotoiset; vain hyödyn mitta-asteikko olisi erilainen.

Nämä ratkaisun ominaisuudet seuraavat siitä, että Anilin hyötyfunktio on Cobb–Douglas-funktio. Toisenlaisessa hyötyfunktiossa Anilin optimaalinen jakosuhde voisi riippua lottovoiton suuruudesta.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos (luvut 15.1, 17.1 ja 17.3). Manchester: Manchester University Press.