Leibniz 5.4.1 Kvasilineaariset preferenssit

Angela on viljelijä, joka tekee valinnan kahden hyödykkeen, viljan ja vapaa-ajan, välillä. Oletamme Angelan preferenssit tässä luvussa sellaisiksi, että lisäyksikkö viljaa vastaa hänelle samaa vapaa-ajan määrää riippumatta siitä, kuinka paljon hänellä on viljaa. Tässä osiossa esitämme tämän ominaisuuden matemaattisesti.

Aikaisemmissa Leibniz-osioissa olemme käyttäneet Cobb–Douglas-tuotantofunktiota. Nyt tutkimme vaihtoehtoista keinoa: kvasilineaarista hyötyfunktiota.

Kuvatkoon muuttuja $t$ Angelan päivittäistä vapaa-aikaa ja $c$ hänen päivässä kuluttamaansa viljamäärää. Oletamme, että vaihtosuhde, jolla Angela on valmis vaihtamaan viljaa vapaa-ajaksi, pysyy viljan kulutuksen kasvaessa vakiona. Toisin sanoen hänen vapaa-ajan ja viljavakkojen rajasubstituutiosuhteensa riippuu vain vapaa-ajasta eikä lainkaan viljasta. Kuvioon 1 on hahmoteltu tällaisia samahyötykäyriä. Jos vapaa-aikaa on $t_0$, samahyötykäyrän kulmakerroin hetkenä $(t_0,\ c)$ on sama kaikilla muuttujan $c$ arvoilla. Kaikki kuvion tangenttisuorat ovat siis yhdensuuntaisia.

Jos muuttujien $t$ ja $c$ rajasubstituutiosuhde riippuu vain muuttujasta $t$, hyötyfunktio on muotoa

$$U(t,\ c) = v(t) + c,$$

jossa $v$ on kasvava funktio: $v'(t)\gt0$, koska Angela haluaa vapaa-aikaa mieluummin enemmän kuin vähemmän. Tätä sanotaan kvasilineaariseksi funktioksi, koska hyöty on lineaarinen viljan kulutuksen $c$ suhteen ja mahdollisesti epälineaarinen vapaa-ajan $t$ funktio. Osoitamme nyt, että rajasubstituutiosuhde riippuu vain muuttujasta $t$.

Angelan vapaa-ajan $t$ ja viljan kulutuksen $c$ rajasubstituutiosuhde on Leibniz-osion 3.2.1 määritelmän mukaisesti pisteen $(t,\ c)$ kautta kulkevan samahyötykäyrän kulmakertoimen itseisarvo. Sen voi laskea aiemman Leibniz-osion kaavasta

$$\text{MRS} = \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial c} \right.$$

Tässä tapauksessa $\dfrac{\partial U}{\partial t} = v'(t)$ ja $\dfrac{\partial U}{\partial c} = 1$, joten

$$\text{MRS} = v'(t).$$

Samaan tulokseen voi päästä yleistä kaavaa käyttämättäkin. Jokainen samahyötykäyrä on muotoa

$$v(t) + c = \text{vakio}$$

eli $c= k - v(t)$, jossa $k$ on vakio. Siksi

$$\frac{dc}{dt} = - v'(t) \lt0$$

samahyötykäyrällä. Käyrä on laskeva, ja kulmakertoimen itseisarvo on $v'(t)$. Rajasubstituutiosuhde on siis vain muuttujan $t$ funktio, minkä halusimme todistaa.

Kuvion 1 samahyötykäyrillä on laskeva rajasubstituutiosuhde, joka loivenee oikealle päin mentäessä. Jotta näin käy, muuttujan $v'(t)$ on laskettava muuttujan $t$ kasvaessa. Siten $v''(t)\lt0$: $v$ on konkaavi funktio. Koska samahyötykäyrät ovat muotoa $'c = \text{vakio} - v(t)'$, jokaisen kahden käyrän välillä on vakioinen vertikaalinen etäisyys, kuten kuviossa 1. Kaavion käyrät kasautuvat muuttujan $c$ suurilla arvoilla yhteen, koska käyrät ovat jyrkempiä.

Yhteenvetona: hyötyfunktio

$$U(t,\ c) = v(t) + c,$$

jossa funktio $v$ on kasvava ja konkaavi, sanotaan kvasilineaariseksi. Tämän muotoisen hyötyfunktion käyttö tarkoittaa, että teemme preferensseistä rajoittavan oletuksen, jolla on kuitenkin hyödyllinen seuraus. Koska hyöty on muotoa ‘$c + \text{jotain}$’, sen mittayksikkö on sama kuin kulutuksen. Angelan mielestä $t$ tuntia vapaa-aikaa on samanarvoinen kuin $v(t)$ vakkaa viljaa.

On hyödyllistä mitata hyötyä kulutusyksiköissä etenkin silloin, kun Angela voi myydä viljaa markkinoilla ja ostaa saamillaan tuloilla vaikkapa elintarvikkeita tai vaatteita. Tällaisissa tilanteissa muuttuja $c$ tulkitaan usein rahatuloiksi. Kvasilineaaristen preferenssien oletus mahdollistaa hyödyn kasvun ja vähenemisen mittaamisen rahassa.

Esimerkki

Esimerkki kvasilineaarisesta hyötyfunktiosta on

$$U(t,\ c) = b t^\alpha + c,$$

jossa $b$ ja $\alpha$ ovat positiivisia vakioita ja $\alpha\lt1$. Heti näkee, että funktio on muotoa $v(t) +c$ ja $v(t)= b t^\alpha$. Jotta voimme osoittaa funktion edellä kuvatun kaltaiseksi kvasilineaariseksi hyötyfunktioksi, meidän on osoitettava, että funktio $v$ on kasvava ja konkaavi. Se onnistuu helposti:

$$v'(t)= \alpha b t^{\alpha -1},$$

joka on positiivinen, koska $b$ ja $\alpha$ ovat positiivisia ja

$$v''(t)= (\alpha -1)\alpha b t^{\alpha -2},$$

joka on negatiivinen, koska $b\gt0$ ja $0\lt\alpha \lt1$.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos (luvut 17.1–17.3). Manchester: Manchester University Press.