Leibniz 5.7.1 Angelan työaikavalinta, kun hän maksaa vuokraa

Leibniz-osiossa 5.4.2 ratkaisimme Angelan rajoitetun optimointiongelman hänen tehdessään päätöksiä itsenäisenä viljelijänä. Nyt tarkastelemme tapausta, jossa Bruno omistaa maan ja Angelan on maksettava vuokraa, jotta hän voi tuottaa viljaa. Näemme pian, että Angelan kvasilineaarisilla preferensseillä on suuri vaikutus siihen, miten vuokra vaikuttaa hänen päätökseensä.

Angelan preferenssejä kuvaa nytkin kvasilineaarinen hyötyfunktio

$$U(t,\ c) = v(t) + c,$$

jossa $t$ edustaa päivittäistä vapaa-aikaa ja $c$ hänen päivittäin kuluttamiensa viljavakkojen määrää. Funktio $v$ on kasvava ja konkaavi. Mahdollisuuksien raja osoittaa, että se, miten monta viljavakkaa hän voi kuluttaa päivässä, $y$, riippuu hänen valitsemastaan vapaa-ajasta.

Kun Angela oli itsenäinen viljelijä, hän pystyi kuluttamaan kaiken tuottamansa viljan. Hänen mahdollisuuksien rajansa oli $c=g(t)$, jossa $g'(t)\lt0$ ja $g''(t)\lt0$, ja hänen rajoitettu optimointiongelmansa oli valita $t$ ja $c$ niin, että $v(t) + c$ on maksimissaan, kun $c =g(t)$. Saamme ensimmäisen kertaluvun ehdon:

$$v'(t) + g'(t)=0$$

Angelan optimaalinen vapaa-aikavalinta $t^*$ on se muuttujan $t$ arvo, joka toteuttaa tämän yhtälön. Muista, että hänen rajasubstituutiosuhteensa (MRS) on $v'(t)$ ja hänen rajamuunnossuhteensa (MRT) on $-g'(t)$. Optimaalinen vaihtoehto on se, jossa MRS = MRT.

Miten ongelma muuttuu, kun Angela maksaa vuokraa?

Oletetaan, että hän maksaa maanomistaja Brunolle $c_0$ viljavakkaa vuokraa oikeudesta viljellä hänen maataan. Tämä tarkoittaa, että Angelan viljankulutus on viljantuotantoa pienempi. Jos hän valitsee $t$ tunnin vapaa-ajan, hän tuottaa samat $g(t)$ viljavakkaa kuin ennenkin, mutta hänen kulutuksensa on

$$c= g(t) -c_0.$$

Tässä tapauksessa hänen rajoitettu optimointiongelmansa on valita $t$ ja $c$ niin, että $v(t) + c$ on mahdollisimman suuri, kun $c =g(t)-c_0.$

Angelan optimaalisen vapaa-ajan ensimmäisen kertaluvun ehto on kuitenkin täsmälleen sama kuin ennenkin:

$$v'(t) + g'(t)=0$$

Hän valitsee siis täsmälleen saman vapaa-ajan $t^*$ kuin silloinkin, kun hänen ei tarvinnut maksaa vuokraa. Tämä tarkoittaa tietysti, että hän tuottaa viljaa saman verran kuin ennenkin, vaikka hänen kulutuksensa jää vuokran verran pienemmäksi.

Miksi? Kun Angelan pitää maksaa vuokraa, hän pitää $t$ tuntia vapaata ja maksaa Brunolle $c_0$. Vapaa-ajan ja kulutuksen välinen vaihtosuhde ei kuitenkaan muutu. Lisätyötunti tuo hänelle yhtä paljon lisää viljaa kuin ennenkin, joten hänen rajamuunnossuhteensa on yhä $g'(t)$. Kvasilineaaristen preferenssien takia kulutuksen väheneminen ei vaikuta myöskään hänen rajasubstituutiosuhteeseensa, joka on $v'(t)$ viljan kulutuksesta riippumatta.

Vuokran maksamisen vaikutus näkyy kuviossa 1. Ylempi punainen käyrä on Angelan alkuperäinen mahdollisuuksien raja itsenäisenä viljelijänä, $c=g(t)$. Hänen optimaalinen vapaa-ajan ja kulutuksen valintansa on silloin pisteessä P. Kun hän maksaa vuokraa $c_0$, mahdollisuuksien raja siirtyy vertikaalisesti $c_0$ yksikköä alaspäin. Sitä kuvaa kaavion alempi punainen käyrä: $c=g(t)-c_0$.

Angelan uusi optimaalinen piste on Q: hänellä on edelleen $t^*$ tuntia vapaata päivässä, ja hänen päivittäinen viljan kulutuksensa on nyt $c^* - c_0$ vakkaa. Kvasilineaarisuuden vaikutus näkyy kuviossa: kvasilineaarisilla samahyötykäyrillä on sama kulmakerroin.

Olemme osoittaneet, että Angela valitsee saman verran vapaa-aikaa riippumatta vuokran $c_0$ tasosta. Hän tekee saman valinnan, jos vuokra on nolla – itsenäisenä viljelijänä – ja tekisi sen siinäkin tapauksessa, että $c_0$ olisi negatiivinen eli jos hänellä ei olisi vuokranantajaa mutta hän saisi valtiolta tukea pystyäkseen työskentelemään omalla tilallaan.

Koska vuokran maksaminen ei muuta Angelan ajankäyttöä, hänen ja Brunon välinen mahdollinen ristiriita koskee vain sitä, paljonko kumpikin saa viljaa kulutettavakseen. Angelan työaika ei kvasilineaaristen preferenssien vuoksi riipu siitä, miten vilja jakautuu, joten potin suuruus ja sen jakaminen ovat aivan eri asioita. Teemme luvussa 5 kvasilineaarisuuden oletuksen, jotta voimme tarkastella näitä asioita erikseen.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos (luvut 17.1–17.3). Manchester: Manchester University Press.