Leibniz 7.3.1 Keskikustannus- ja rajakustannusfunktiot

Ajattomien Autojen kaltaisen teollisuusyrityksen tuotantokustannuksiin sisältyvät tehtaan vuokra, kone- ja kalustovuokrat, raaka-aineiden ja energian hinnat sekä kaikkien työntekijöiden palkat. Kustannusfunktio $C(Q)$ kuvaa, miten yrityksen kokonaiskustannukset vaihtelevat tuotoksen eli autontuotannon $Q$ mukaan. Tässä Leibniz-osiossa osoitamme, miten yrityksen keskikustannus- ja rajakustannusfunktiot liittyvät kustannusfunktioon $C(Q)$.

Yleensä kokonaiskustannukset kasvavat tuotoksen myötä. Käsittelemme seuraavassa tuotantomäärää $Q$ jatkuvana muuttujana, mikä on tavallinen ja hyödyllinen likiarvo suuria lukuja käsiteltäessä. Silloin on järkevää olettaa, että funktio $C$ on derivoituva, ja kuvata sitä seuraavan epäyhtälön kasvavaksi funktioksi:

$$C'(Q)\gt0$$

Funktio $C$ on piirretty kuvion 7.7 yläosaan ja myös tähän kuviona 1. Huomaa, että $C(0)=F\gt0$; vaikka yritys ei tuottaisi yhtään autoa, sille koituu kiinteitä kustannuksia, $F$. Funktio $C$ on kasvava ja konveksi: käyrän kulmakerroin kasvaa, kun $Q$ kasvaa. Palaamme tähän tuonnempana.

Ajattomien Autojen tuottamisen keskikustannus (AC) määritellään kokonaiskustannuksiksi jaettuna tuotettujen autojen määrällä. Jos tuotos on $Q$ autoa:

$$\text{AC} = \frac{C(Q)}{Q}$$

Kuvion 1 yläosassa $Q$ auton keskikustannus on pisteestä $(Q, C(Q))$ origoon kulkevan suoran kulmakerroin. Näet kaaviosta, että kulmakerroin vaihtelee määrän $Q$ mukaan: keskikustannus AC on määrän $Q$ funktio. Funktion $AC(Q)$ kuvaaja näkyy kuvion 1 alaosassa.

Rajakustannus (MC) on kustannusten muutosnopeus, kun $Q$ kasvaa. Jos tuotos on $Q$ autoa:

$$\text{MC} =C'(Q)$$

Voit tulkita rajakustannuksen MC yhden lisäauton tuottamisen kustannukseksi, mutta muista, että se on vain likiavo. Geometrisesti MC on kuvion 1 yläosassa näkyvän käyrän $C(Q)$ kulmakerroin. Kuten edellä on mainittu, tällä kustannusfunktiolla on se ominaisuus, että kulmakerroin kasvaa, kun $Q$ kasvaa. Oletamme, että Ajattomilla Autoilla lisäauton tuottamisen kustannus on jo tuotettavien autojen määrän kasvava funktio. Tämä tarkoittaa, että rajakustannus on funktion $Q$ kasvava funktio. Rajakustannusfunktio näkyy kuvion 1 alaosassa nousevana suorana.

Mieti nyt keskikustannusfunktion muotoa. Kun muistat, että keskikustannus on pisteestä $C(Q)$ origoon kulkevan puolisuoran kulmakerroin, näet kuvion 1 yläosasta, että keskikustannus on korkea, kun $Q$ on pieni. Sen jälkeen se vähenee vähitellen pisteeseen B asti, jossa $Q=40$, ja alkaa sitten taas nousta. Tämä näkyy alaosan U-kirjaimen muotoisessa keskikustannuskäyrässä, jonka alin arvo on $Q=40$. Kaavio osoittaa myös, että $\text{MC} \lt \text{AC}$ jos $Q \lt 40$, $\text{MC} \gt \text{AC}$ jos $Q \gt 40$ ja $\text{MC} = \text{AC}$ jos $Q = 40$. Toisin sanoen $\text{MC} - \text{AC}$ on etumerkiltään sama kuin keskikustannuskäyrän kulmakerroin. Todistamme nyt, että tämä pitää paikkansa aina, kustannusfunktion muodosta riippumatta.

Osamäärän derivoimissäännön mukaan

$$\frac{d}{dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) = \frac{QC'(Q)- C(Q)}{Q^2}$$

Nyt $C'(Q)= \text{MC}$ and $C(Q) = Q \times \text{AC}$. Siksi

$$\frac{d}{dQ} (\text{AC} ) = \frac{\text{MC}-\text{AC}}{Q}.$$

Koska $Q\gt0$, keskikustannuskäyrän kulmakertoimella on jokaisella määrän $Q$ arvolla sama etumerkki kuin lausekkeella $\text{MC} - \text{AC}$, minkä halusimme todistaa.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos (luvut 6.4 ja 8.1). Manchester: Manchester University Press.