Leibniz 7.4.1 Samavoittokäyrät ja niiden kulmakertoimet

Yrityksen voitto on sen tulojen (hinta kerrottuna myydyllä määrällä) ja kokonaiskustannusten erotus. Jos tiedämme yrityksen kustannusfunktion $C(Q)$, voimme määritellä sen samavoittokäyrät eli saman voiton tuottavat hinnan $P$ ja määrän $Q$ yhdistelmät. Tässä Leibniz-osiossa johdamme samavoittokäyrän yhtälön, selitämme sen muotoa ja selvitämme sen kulmakertoimen.

Taloudellinen voitto on tulot vähennettyinä kustannuksilla. Ajattomien Autojen kaltaisen teollisuusyrityksen voitto riippuu tuotantomäärästä ($Q$) ja hinnasta ($P$), jolla kukin tuotosyksikkö myydään. Voiton merkintä on $\Pi,$ niin kuin ennenkin. Jos yrityksen kustannusfunktio on $C(Q)$, sen voiton voi kirjoittaa muuttujien $P$ ja $Q$ funktiona:

$$\Pi = PQ - C(Q)$$

Samavoittokäyrät ovat $Qp$-tason käyriä, joista jokainen vastaa tiettyä voittotasoa. Tyypillisen samavoittokäyrän yhtälö on muotoa

$$PQ - C(Q) = k,$$

jossa $k$ on voittotasoa edustava vakio. Jokaiselle muuttujan $k$ arvolle on eri käyrä. Esitämme samavoittokäyrät kaaviossa niin, että $P$ on pystyakselilla. Siksi yhtälö kannattaa kirjoittaa muotoon, jossa $P$ on muuttujan $Q$ funktio:

$$P = \frac{C(Q) + k}{Q}$$

Yhtälö kertoo, että jos $k$ kasvaa, myös $P$ kasvaa kaikilla muuttujan $Q$ arvoilla. Tämä tarkoittaa, että samavoittokäyrien kaaviossa ylempänä olevat käyrät vastaavat korkeampia voittotasoja. Tämä näkyy omena-kanelimurojen (kuvio 7.4) ja Ajattomien Autojen (kuvio 7.10) kaavioissa, jotka on kopioitu tähän kuvioiksi 1 ja 2.

Selitämme nyt, miksi näiden yritysten samavoittokäyrät ovat kaaviossa esitetyn muotoisia. Voittoa $k$ vastaavan samavoittokäyrän yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

$$P = \frac{C(Q)}{Q} + \frac{k}{Q}$$

tai yhtäpitävästi

$$P = \text{AC} + \frac{k}{Q}$$

Katsotaan ensin nollavoittokäyrää, jossa $k = 0$. Kun sijoitamme lausekkeen $k = 0$ edellä mainittuun yhtälöön, näemme, että nollavoittokäyrä on keskikustannuskäyrä. Kaikissa tämän käyrän alapuolella olevissa pisteissä yritys tekisi tappiota. Kanelimurojen keskikustannus on vakio: jokaisen paunan tuottaminen maksaa kaksi euroa kokonaismäärästä riippumatta. Nollavoittokäyrä on vaakasuora hinnan arvolla $P = 2$. Ajattomilla Autoilla on U:n muotoinen keskikustannuskäyrä ja samaten U:n muotoinen nollavoittokäyrä.

Katsotaan nyt käyriä, jotka vastaavat positiivista voittoa, $k\gt0.$ Silloin samavoittokäyrä kertoo, että $P$ on AC + $k/Q$. Huomaa, että kun $k/Q$ on korkea, $Q$ on pieni ja

$$\frac{d}{dQ} \left( \frac{k}{Q} \right) = - \frac{k}{Q^2} \lt0, \quad \frac{d^2}{dQ^2} \left( \frac{k}{Q} \right) = \frac{2k}{Q^3} \gt0$$

Siten $k/Q$ on muuttujan $Q$ laskeva konveksi funktio.

Samavoittokäyrien muoto riippuu termistä $k/Q$ ja AC-käyrän muodosta. Omena-kanelimurojen tapauksessa ratkaisu on yksinkertainen. AC on vaakasuora ja samavoittokäyrien yhtälö on $P = 2+k/Q$. Samavoittokäyrät ovat siis laskevia ja konvekseja, niin kuin $k/Q$, kuten näemme kuviosta 1.

Ajattomien Autojen keskikustannuskäyrä on U:n muotoinen ja siten konveksi. Sen minimi on pisteessä B, jossa $Q = 40$ euroa. Myös voittoa $k\gt0$ vastaavan samavoittokäyrän on oltava konveksi, koska kahden konveksin funktion summa on aina konveksi (funktioiden summan $f(x) + g(x)$ toinen derivaatta on $f''(x) + g''(x)$, joka on positiivinen, jos $f''(x)$ ja $g''(x)$ ovat positiivisia).

Jos $0\lt Q\lt40$, sekä $C(Q)/Q$ että $k/Q$ ovat muuttujan $Q$ laskevia funktioita, joten samavoittokäyrä on laskeva. Jos $Q$ on suuri, termin $k/Q$ derivaatta on lähellä nollaa. Siten samavoittokäyrän kulmakerroin on melkein sama kuin termin $C(Q)/Q$ kulmakerroin: samavoittokäyrä on nouseva (niin kuin keskikustannuskäyräkin). Siten termin $k\gt0$ samavoittokäyrä on keskikustannuskäyrän tapaan U:n muotoinen. Funktion minimi on jokin piste, jossa $Q$ on positiivinen.

Olkoon $Q^*$ funktion minimoiva $Q$ arvo. Huomaa, että muuttuja $Q^*$ riippuu vakiosta $k$. Tiedämme, että kaikki samavoittokäyrät ovat laskevia, kunnes $Q = 40$, joten $Q^* \gt 40$: samavoittokäyrän minimi on pisteessä, jossa $k\gt0$ on nollavoittokäyrän alimman kohdan oikealla puolella. Samaan tapaan näemme, että jos $k$ kasvaa, myös $Q^*$ kasvaa: suurempia voittoja vastaavien samavoittokäyrien minimi on vielä enemmän oikealla (kuvio 2).

Olemme nyt selittäneet, miksi Ajattomien Autojen samavoittokäyrät ovat U:n muotoisia. Toinen kuviosta 2 näkyvä ominaisuus on se, että rajakustannuskäyrä kulkee samavoittokäyrien alimpien kohtien kautta. Osoitimme Leibniz-osiossa 7.3.1, että tämä pätee keskikustannuskäyrälle (nollasamavoittokäyrälle), koska $\text{MC} - \text{AC}$ on aina etumerkiltään sama kuin keskikustannuskäyrän kulmakerroin. Sovellamme nyt samaa menettelyä muiden samavoittokäyrien kulmakertoimiin.

Voittoa $k\gt0$ vastaavalla samavoittokäyrällä

$$\frac{dP}{dQ} = \frac{d} {dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) - \frac{k}{Q^2}$$

Tällöin $dP/dQ$ on kahden termin erotus. Ensimmäinen termi on keskikustannuskäyrän kulmakerroin; osoitimme Leibniz-osiossa 7.3.1 (osamäärän derivoimissääntöä käyttämällä), että se on $(\text{MC} - \text{AC)}/Q$. Tiedämme samavoittokäyrän yhtälöstä, että $k/Q = P - \text{AC}$. Siksi

$$\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{MC} - \text{AC}}{Q} - \frac{P - \text{AC}}{Q}$$

Oikeaa puolta sieventämällä näemme, että

$$\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{MC} - P}{Q}$$

Tämä yhtälö kertoo, että samavoittokäyrän kulmakerroin missä tahansa pisteessä on $P = \text{AC}+ k/Q$. Kun $Q$ on pieni, $P$ on suuri – rajakustannusta MC suurempi – ja käyrä on laskeva. Kun siis $Q$ kasvaa, $P$ laskee; tätä jatkuu, kunnes $P\lt \text{MC}$. Ajattomien Autojen tapauksessa päädymme lopulta pisteeseen, jossa $P = \text{MC}$. Siinä pisteessä yhtälöstä näkee, että kulmakerroin on nolla: olemme samavoittokäyrän alimmassa kohdassa. Rajakustannuskäyrä on nouseva ja kulkee tämän pisteen kautta. Tämän pisteen jälkeen $\text{MC} \gt P$ ja samavoittokäyrä ovat nousevia.

Entä omena-kanelimurot? Koska muropaunan yksikkökustannus on 2 euroa tuotantotasosta riippumatta, sekä rajakustannus että keskikustannus ovat 2 euroa. Nollasamavoittokäyrä ei ole vain keskikustannuskäyrä vaan myös rajakustannuskäyrä. Mikä tahansa samavoittokäyrä voidaan kirjoittaa muotoon $P = \text{MC}+ k/Q$. Jos $k \gt 0$, niin $P \gt \text{MC}$. Kulmakerroin on toisin sanoen aina negatiivinen. Kuten kuvio 1 kertoo, kaikki positiiviset samavoittokäyrät ovat laskevia mutteivät koskaan kohtaa rajakustannuskäyrää.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos (luku 8). Manchester: Manchester University Press.