Leibniz 7.5.1 Voiton maksimoiva hinta

Ajattomat Autot pyrkii maksimoimaan voittonsa valitsemalla kysyntäkäyrältä pisteen, jossa sen samavoittokäyrä sivuaa kysyntäkäyrää. Olemme nähneet sen kaaviossa, ja tässä Leibniz-osiossa ratkaisemme voitonmaksimointiongelman matemaattisesti ja osoitamme, että sivuamiskohta on optimaalinen.

Ajattomien Autojen kysyntäkäyrä on laskeva. Kun yrityksen johtajat valitsevat hintaa, he tietävät, että mitä enemmän autoja yritys tuottaa, sitä alempi hinnan pitää olla, jotta kaikki menee kaupaksi. Piirsimme kysyntäkäyrän tekstissä laskevaksi suoraksi, mutta todellisuudessa se ei todennäköisesti ole suora Tässä esitämme sen yleisemmin funktiona. Enimmäishinta $P$, jolla myynti on $Q$:

$$P=f(Q),$$

jossa $f$ on termin ($f'(Q)\lt0$) aidosti vähenevä funktio. Kun kirjoitamme kysyntäsuhteen tähän muotoon, jossa hinta on määrän funktio, nimitämme funktiota $f$ käänteiseksi kysyntäfunktioksi. Jos kirjoitetaan toisin päin eli määrä hinnan funktiona, funktiota sanotaan kysyntäfunktioksi.

Ajattomien Autojen voitto $\Pi$ on yhtä kuin kokonaistulot vähennettyinä kokonaiskustannuksilla:

$$\Pi = PQ - C(Q)$$

Yritys haluaa asettaa hinnan ja määrän maksimoidakseen voiton, kun hinta on sellainen, jonka ostajat ovat valmiit maksamaan. Sen ongelmana on siis

$$\begin{align*}\text{valita }Q \text{ ja } P \text{, jolla} PQ - C(Q) \text{ on mahdollisimman suuri, niin että }P = f(Q)\end{align*}.$$

Helpoin tapa ratkaista optimointiongelma on käyttää sijoitusmenetelmää. Sijoitamme hinnan $P = f(Q)$ kysyntäfunktiosta, jolloin voitto on pelkästään tuotantomäärän $Q$ funktio:

$$\Pi= Qf(Q) - C(Q)$$

Etsimme tämän funktion maksimoivan tuotantomäärän $Q$ arvon derivoimalla termin $Q$ suhteen (käyttämällä tulon derivointisääntöä $\dfrac{d}{dQ}(Qf(Q)) =$ $f(Q) + Qf'(Q)$):

$$\frac{d\Pi}{dQ} = f(Q) + Qf'(Q) - C'(Q)$$

Ensimmäisen kertaluvun optimiehto on $d\Pi/dQ = 0$, joka voidaan järjestellä toisin:

$$f'(Q)= \frac{C'(Q) - f(Q)}{Q}$$

Voiton maksimoiva määrä $Q^*$ toteuttaa tämän yhtälön. Jos tiedämme funktioiden $f(Q)$ ja $C(Q)$ muodon, voimme yrittää ratkaista yhtälön löytääksemme muuttujan $Q^*$ täsmällisesti. Voiton maksimoivan hinnan voi sitten laskea yhtälön $P^*=f(Q^*)$ perusteella.

Funktioita tietämättä voimme silti tulkita ensimmäisen kertaluvun ehtoa. Tiedämme, että muuttujan $Q$ optimaalinen arvo on kysyntäkäyrällä, joten $f(Q) = P$, ja että $C'(Q)$ on rajakustannus. Ensimmäisen kertaluvun ehdon voi kirjoittaa seuraavasti:

$$f'(Q)= \frac{C'(Q) - f(Q)}{Q}$$

Yhtälön vasen puoli on kysyntäkäyrän kulmakerroin. Osoitimme Leibniz-osiossa 7.4.1, että oikea puoli on samavoittokäyrän kulmakerroin. Ensimmäisen kertaluvun ehto kertoo, että voiton maksimoiva vaihtoehto sivuaa kysyntä- ja samavoittokäyriä. Ajattomien Autojen voiton maksimoiva vaihtoehto on kuvion 7.11 piste E. Tämä kuvio on kopioitu oheen kuvioksi 1.

Huomaa, että ensimmäisen kertaluvun ehdon vasen puoli, $f'(Q)$, on negatiivinen, joten myös oikean puolen on oltava negatiivinen. Voiton maksimoiva piste on samavoittokäyrän laskevalla osuudella kohdassa, jossa hinta ylittää rajakustannuksen.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos (luvut 6.4, 7.4 ja 8.1). Manchester: Manchester University Press.