Leibniz 7.6.1 Rajatulo ja rajakustannus

Yksi tapa määrittää Ajattomien Autojen voiton maksimoiva hinta ja määrä on etsiä piste, jossa kysyntäkäyrä sivuaa samavoittokäyrää. Tässä Leibniz-osiossa esitetään vaihtoehtoinen menetelmä käyttämällä yrityksen rajatuloa ja rajakustannusta.

Muista, että Ajattomien Autojen voitto $\Pi$ on kokonaismyyntitulot vähennettyinä kokonaistuotantokustannuksilla:

$$\Pi = PQ - C(Q)$$

Käänteinen kysyntäkäyrä $P=f(Q)$ osoittaa enimmäishinnan $P$, jolla saadaan myydyksi $Q$ autoa, joten voimme kirjoittaa tulon vain muuttujan $Q$ funktiona. Nimitämme sitä tulofunktioksi ja merkitsemme $R(Q)$. Siten:

$$R(Q) = f(Q) \times Q$$

Tuloja missä tahansa kysyntäkäyrän pisteessä voi esittää graafisesti käyrän alla sijaitsevana punaisena suorakulmiona samaan tapaan kuin kuviossa 7.12a ja oheisessa kuviossa 1.

Voittoyhtälö voidaan kirjoittaa tuotannon $Q$ funktiona kokonaistulofunktion $R(Q)$ ja kokonaiskustannusten $C(Q)$ erotuksena:

$$\Pi = R(Q) - C(Q)$$

Selvitämme voiton maksimoivan määrän $Q$ derivoimalla muuttujan $Q$ suhteen, jotta saamme ensimmäisen kertaluvun ehdon $d\Pi/dQ =0$. Tästä seuraa:

$$R'(Q) = C'(Q)$$

rajakustannus

Yhden lisäyksikön tuottamisen vaikutus kokonaiskustannuksiin. Rajakustannus vastaa jokaisessa pisteessä kokonaiskustannusfunktion kulmakerrointa. Englanniksi marginal cost (MC)

rajatulo

Tulojen lisäys, joka saadaan, kun määrä kasvaa arvosta Q arvoon Q + 1. Englanniksi marginal revenue (MR).

Yhtälön oikean puolen termi $C'(Q)$ on yrityksen rajakustannus (MC) eli kustannusten kasvunopeus tuotantomäärän kasvaessa. Samaten tulofunktion derivaatta $R'(Q)$ on tulojen kasvunopeus tuotantomäärän kasvaessa eli rajatulo (MR). Voiton maksimoinnin ensimmäisen kertaluvun ehto voidaan siten kirjoittaa muotoon

$$\text{MR}=\text{MC}.$$

Ensimmäisen kertaluvun ehto kertoo, että kun $Q$ on voiton maksimoivalla tasolla, rajatulo on yhtä suuri kuin rajakustannus.

Rajakustannuskäyrä (eli funktio $C'(Q)$) osoittaa, miten rajakustannus muuttuu tuotannon muuttuessa. Ajattomien Autojen tapauksessa tiedämme, että rajakustannus nousee tuotannon kasvaessa, joten rajakustannuskäyrä on nouseva. Funktio $R'(Q)$ taas on rajatulokäyrä, joka osoittaa, miten rajatulo muuttuu tuotannon muuttuessa. Piirsimme tekstissä rajatulokäyrän laskevaksi. Kuviossa 1 on kopio kuvion 7.12b keskiosasta, jossa näkyvät molemmat käyrät.

Voiton maksimoiva määrä on pisteessä, jossa käyrät leikkaavat, siis kuvion 2 pisteessä E, jossa $R'(Q=C'(Q)$. Koska Ajattomilla Autoilla on nouseva rajakustannus ja nouseva rajatulo, niillä on vain yksi leikkauskohta.

Pisteessä E yritys tuottaa 32 autoa. Niin kuin kuvion 7.12b kohdalla tekstissä todetaan, tämä maksimoi voiton, koska suuremman automäärän tuottamisen rajakustannus ylittäisi rajatulon (MC > MR), kun taas pienemmän automäärän tuottaminen tuottaisi päinvastaisen tuloksen.

Huomaa, että jos käyrien kulmakertoimet olisivat erilaiset, tämä argumentti ei olisi välttämättä toiminut. Jos rajakustannus on laskeva (näin voi käydä, jos yrityksellä on skaalaetuja) ja rajatulo nouseva (mikä on harvinaista, mutta voi toteutua joissakin kysyntäfunktioissa), leikkauspiste olisi voiton minimoiva piste. (Piirrä käyrät ja katso, miksi näin on.)

Yleisesti ottaen: jos löydämme ratkaisun $Q^*$ ensimmäisen kertaluvun ehdolle MC = MR, voimme sanoa, että määrä maksimoi voiton, jos MC < MR, kun $Q\lt Q^*$, ja MC > MR, kun $Q\gt Q^*$.

Menetelmien välinen suhde

Osoitamme nyt, että edellä johdetun voiton maksimoinnin ensimmäisen kertaluvun $\text{MR}=\text{MC}$ ehto on yhtä suuri kuin Leibniz-osiossa 7.5.1 esitetty voiton maksimoinnin ensimmäisen kertaluvun ehto. Kun käytämme tulon derivointisääntöä ja derivoimme yhtälön $R(Q) = Qf(Q)$, näemme, että

$$\text{MR} = \frac{d}{dQ} (Qf(Q)) = f(Q) + Qf'(Q) = P+Qf'(Q).$$

Ensimmäisen kertaluvun ehto $\text{MR} = \text{MC}$ voidaan siten kirjoittaa muotoon

$$P+Qf'(Q) = \text{MC}$$

Järjestellään termit:

$$f'(Q)= \frac{ \text{MC} -P}{Q},$$

joka on Leibniz-osion 7.5.1 ensimmäisen kertaluvun ehto. Sen voi tulkita niin, että kysyntäkäyrän kulmakerroin on yhtä suuri kuin samavoittokäyrän kulmakerroin.

Havainnollistimme ensimmäisen kertaluvun ehdon kahta muotoa hyvin erilaisilla kaavioilla. Ehtoa MC = MR voi havainnollistaa piirtämällä rajakustannus- ja rajatulokäyrät ja etsimällä leikkauspisteen. Toista muotoa voi havainnollistaa piirtämällä kysyntä- ja samavoittokäyrät ja etsimällä sivuamispisteen.

Rajakustannus = rajatulo -menetelmä on usein hyödyllinen yritysten käyttäytymistä selvitettäessä. Empiirisesti on joskus helpompaa arvioida tulofunktiota kuin kysyntäfunktiota. Kun esittelemme Leibniz-osiossa 7.8.1 kysyntäjouston käsitteen, näemme vielä yhden hyödyllisen tavan kirjoittaa ensimmäisen kertaluvun ehto. Käytimmepä mitä menetelmää hyvänsä, ensimmäisen kertaluvun ehdot ovat yhtä suuria, joten voiton maksimoivan määrän ratkaisu on sama.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos (luvut 6.4 ja 8.1). Manchester: Manchester University Press.