Leibniz 22.2.1 Diktaattorin tai valtaeliitin odotettu valtakausi

Mitä suurempia diktaattorin kantamat vuotuiset verotulot, sitä suurempi on todennäköisyys, että hänet syrjäytetään, ja sitä lyhyemmän aikaa hän voi odottaa pysyvänsä vallassa. Tässä Leibniz-osiossa johdamme verotulojen ja odotetun valtakauden eli valtakausisuoran välisen suhteen matemaattisesti.

Diktaattori voi menettää valtansa huonojen tulosten takia (julkishyödykkeen tuotantokustannukset ylittävien poliittisten ylituottojen takia) tai tuloksiin liittymättömistä syistä. Merkitsemme tuloksista johtuvan valta-aseman menettämisen todennäköisyyttä symbolilla $\Delta^p$. Mitä enemmän vuosittain kannetaan veroja $T$, sitä suurempi on valta-aseman menettämisen todennäköisyys. Toisin sanoen $\Delta^p$ on verotulojen $T$ nouseva funktio, joten merkitsemme sitä $\Delta^p(T)$. Jos merkitsemme tuloksista riippumattomista syistä johtuvaa valta-aseman menettämisen todennäköisyyttä symbolilla $\Delta^u$, valta-aseman mistä tahansa syystä menettämisen todennäköisyys minä tahansa vuonna, $\Delta$, on näiden kahden todennäköisyyden summa:

$$\Delta=\Delta^p(T) + \Delta^u$$

Tämä on tarkkaan ottaen likiarvo, koska jätämme huomiotta mahdollisuuden, että tulokseen liittyvät ja muut syyt voivat toteutua samana vuonna. Se on kuitenkin hyvä likiarvo, elleivät $\Delta^p$ ja $\Delta^u$ ole suuria.

Oletetaan, että kun diktaattori on päättänyt verojen tason, hän ei muuta sitä, ja ettei mikään muukaan muutu ajan mittaan. Siksi valta-aseman menettämisen todennäköisyys $\Delta$ pysyy vakiona riippumatta siitä, kuinka kauan hän on jo ollut vallassa. Oletetaan, että odotettu valtakausi kuluvan vuoden alussa on $D$ vuotta ja että jos hän pysyy vallassa tämän vuoden (minkä todennäköisyys on $1-\Delta$), hänen odotettu valtakautensa on ensi vuoden alussa $D_1$ vuotta. Tämän vuoden valtakausi on yksi lisättynä odotetulla tulevalla lisäkaudella:

$$D=1 + (1-\Delta)D_1$$

Jos diktaattori pysyy vallassa tämän vuoden, valta-aseman menettämisen mahdollisuudet ovat ensi vuoden alussa täsmälleen samat kuin nyt. Odotettu valtakausi on ensi vuoden alussa täsmälleen sama kuin tänä vuonna. Siten $D_1=D$ ja

$$D=1 + (1-\Delta)D.$$

Ratkaisemme yhtälön muuttujan $D$ suhteen ja saamme tulokseksi $D=1/\Delta$ tai yhtäpitävästi:

$$D=\frac{1}{\Delta^p(T)+\Delta^u}$$

Tämä on kuvion 22.5 valtakausisuora, joka on kopioitu tähän kuvioksi 1. $D$ on siinä vaaka-akselilla. Koska $\Delta^p$ on ajan $T$ kasvava funktio, $D$ laskee kun $T$ laskee, joten käyrä on laskeva. Käyrän muoto riippuu funktion $\Delta^p(T)$ muodosta, mutta se esitetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi suorana viivana.

Kun verotulot kattavat julkisten palvelujen kustannuksen eli $T = C$, diktaattori ei saa poliittisia ylituottoja. Tässä tapauksessa oletimme, ettei häntä eroteta tuloksista johtuvista syistä ja $\Delta^p(C) = 0$. Hänen pisin odotettu valtakautensa $D^{\text{max}}$ toteutuu, kun $T=C$. Tulos saadaan seuraavasta:

$$D^\text{max}=\frac{1}{\Delta^u}$$