Leibniz 4.4.1 Préférences altruistes : trouver la répartition optimale

Anil a gagné la loterie et doit décider que faire de ses 10 000 roupies. Il a des préférences altruistes : bien qu’il soit heureux d’avoir reçu l’argent, il se soucie de son voisin Bala qui n’a rien gagné. Nous pouvons utiliser la technique d’optimisation sous contrainte pour modéliser sa décision.

Dans le Leibniz 3.5.1, nous avons utilisé l’optimisation sous contrainte pour résoudre le problème d’Alexei : choisir ses heures quotidiennes de temps libre t et sa note à l’examen y afin de maximiser son utilité $U(t,\ y)$, sous le contrainte de ce qui est possible étant donnée la fonction de production de sa note à l’examen. Le problème d’Alexei consistait à :

$$\text{choisir } t \text{ et } y \text{ pour maximiser } U(t,\ y) \text{ sous la contrainte } y=f(24- t)$$

où f est sa fonction de production.

Au point optimal d’Alexei, le taux auquel il peut échanger des heures de temps libre contre des points à l’examen est égal au taux auquel il est disposé à les échanger. En d’autres termes, le taux marginal de transformation (TMT) est égal au taux marginal de substitution (TMS). Nous avons nommé cette relation la condition de premier ordre d’Alexei pour l’optimisation.

Le problème d’Anil peut être écrit de manière très similaire. Lui aussi veut maximiser son utilité, qui dépend de deux biens, de l’argent pour lui-même et de l’argent pour Bala. De plus, il fait face à une contrainte : il n’a que 10 000 roupies à partager entre son voisin et lui. Si nous désignons l’argent d’Anil par x, celui de Bala par y et la fonction d’utilité d’Anil par $U(x,\ y)$, alors le problème d’Anil consiste à :

$$\text{choisir } x \text{ et } y \text{ pour maximiser }U(x,\ y) \text{ sous la contrainte } x + y = 10 000$$

L’équation $x + y = 10 000$ décrit la frontière des possibles le long de laquelle Anil peut partager son lot si l’argent n’est ni perdu, ni taxé.

Nous avons vu deux méthodes pour résoudre les problèmes d’optimisation sous contrainte (voir le Leibniz 3.5.1). La première est la méthode de substitution, dans laquelle nous commençons par substituer à partir de la contrainte dans la fonction objective. L’autre méthode, que nous utiliserons ici, consiste à appliquer la condition de premier ordre :

$$\text{TMT} = \text{TMS}$$

Vous pouvez voir cela dans la Figure 4.5 du texte, reproduite ci-dessus en tant que Figure 1 : l’allocation optimale B se trouve au point de tangence de la courbe d’indifférence d’Anil et de la contrainte (la frontière des possibles).

Si nous connaissions les préférences d’Anil (sa fonction d’utilité), nous pourrions résoudre le problème d’optimisation sous contrainte afin de déterminer précisément le point B. Supposez qu’il ait une fonction d’utilité de type Cobb-Douglas de la même forme que celle d’Alexei dans le Leibniz 3.5.1 :

$$U(x,\ y) = x^\alpha y^\beta$$

où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes positives. Les utilités marginales d’Anil peuvent être trouvées, comme d’habitude, à partir des dérivées partielles :

$$\frac{\partial U}{\partial x} = \alpha x^{\alpha -1} y^\beta = \frac{\alpha U}{x}, \quad \frac{\partial U}{\partial y} = \beta x^\alpha y^{\beta -1} = \frac{\beta U}{y}$$

Son taux marginal de substitution (la valeur absolue de la pente de la courbe d’indifférence) correspond au ratio des utilités marginales :

$$\text{TMS }= \left.\frac{\partial U}{\partial x}\middle/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. = \left. \frac{\alpha U}{x} \middle/ \frac{\beta U}{y}\right. = \frac{\alpha y}{\beta x}$$

Le taux marginal de transformation correspond à la valeur absolue de la pente de la frontière des possibles, $x + y = 10 000$. En la réécrivant comme $y = 10 000 - x$, nous voyons que la pente est $-1$, donc :

$$\text{TMT} = 1$$

Autrement dit, Anil peut transformer son argent en argent pour Bala au taux de un pour un. En égalisant le TMS et le TMT nous obtenons la condition de premier ordre pour le choix optimal d’Anil :

$$\alpha y = \beta x$$

Il y a un nombre infini de points dans le plan xy qui satisfont cette condition : tous les points où la pente de la courbe d’indifférence est $-1$, qui appartiennent à une droite passant par l’origine. Mais nous voulons celui qui est situé sur la frontière des possibles. Ainsi le point optimal d’Anil est trouvé en résolvant le système à deux équations :

$$x+y=10 000, \quad \beta x - \alpha y = 0$$

Vous pouvez vérifier (par exemple, en utilisant la première équation pour substituer y dans la seconde) que la solution est :

$$x = \frac{10 000 \, \alpha}{\alpha +\beta}, \quad y = \frac{10 000 \, \beta}{\alpha +\beta}$$

Par exemple, si les préférences d’Anil sont telles que $\alpha =0,7$ et $\beta=0,3$, ces expressions se réduisent à $x =7 000$ et $y=3 000$ comme dans le texte : Anil donne 3 000 roupies à son voisin Bala et garde 7 000 roupies pour lui-même.

Nous pouvons écrire la solution au problème d’Anil en termes de parts du lot qui doivent aller à Anil et à Bala respectivement :

$$\frac{x}{10 000} = \frac{\alpha}{\alpha +\beta}, \quad \frac{y}{10 000} = \frac{\beta}{\alpha +\beta}$$

Une vérification rapide des calculs ci-dessus devrait vous convaincre du fait que les parts optimales restent $\alpha/(\alpha +\beta)$ et $\beta/(\alpha +\beta)$ quand 10 000 est remplacé par un autre nombre positif : les proportions du lot accordées à Anil et à Bara sont indépendantes de la taille du lot. Remarquez aussi que cette réponse nous permet de faire quelque chose que nous n’avons pu faire jusqu’à présent, à savoir donner une interprétation aux paramètres $\alpha$ et $\beta$ de la fonction d’utilité d’Anil. Plus $\alpha$ est élevé par rapport à $\beta$, plus Anil se préoccupe de son propre argent par rapport à celui de Bala.

Une autre propriété que vous pouvez observer ici est que seul le ratio de $\alpha$ sur $\beta$ est pertinent pour le choix optimal d’Anil. Il choisirait la même chose si $\alpha =70$ et $\beta=30$ parce que ses courbes d’indifférence auraient exactement la même forme, bien que l’échelle de mesure de l’utilité serait différente.

Ces caractéristiques de la solution sont des conséquences du fait qu’Anil ait une fonction d’utilité de type Cobb-Douglas. Avec une fonction d’utilité d’un autre type, il aurait pu répartir l’argent en différentes proportions selon la taille du lot.

Pour en savoir plus : Sections 15.1, 17.1, 17.3 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.