Leibniz 8.4.2 Équilibre du marché

Un marché est à l’équilibre concurrentiel si tous les acheteurs et vendeurs sont preneurs de prix, et si, au prix en vigueur sur le marché, la quantité offerte est égale à la quantité demandée. Dans ce supplément Leibniz nous verrons comment trouver la quantité et le prix d’équilibre mathématiquement à partir des courbes d’offre et de demande.

Prenez un marché, comme le marché du pain décrit dans l’Unité 8, sur lequel tous les acheteurs et vendeurs sont preneurs de prix. Supposez que la fonction de demande du marché soit $Q = Q^D(P)$ et que la fonction d’offre du marché soit $Q = Q^S(P)$, que l’on a dérivée comme dans le Leibniz 8.4.1. La courbe de demande donne la quantité totale d’un bien demandée pour chaque prix par les acheteurs sur le marché et la courbe d’offre nous donne la quantité totale que les vendeurs sont prêts à offrir pour chaque prix. L’offre et la demande de pains sont représentées dans la Figure 8.8 du texte, reproduite ici en tant que Figure 1 (souvenez-vous que l’on trace habituellement les deux courbes en reportant $P$ en ordonnée et $Q$ en abscisse — le graphique montre donc les fonctions de demande et d’offre inverses).

Afin de trouver le prix et la quantité d’équilibre, il faut résoudre une paire d’équations simultanées – la courbe de demande et la courbe d’offre – pour $P$ et $Q$.

Quand les courbes de demande et d’offre sont exprimées comme des fonctions de demande et d’offre directes $Q^D$ et $Q^S$, nous pouvons commencer par chercher un prix d’équilibre – c’est-à-dire, le prix qui aboutit à l’équilibre du marché, donc qui égalise les quantités demandées et offertes. Un prix d’équilibre est une solution de l’équation :

$$Q^D(P)=Q^S(P)$$

Dans des cas standards comme celui représenté dans la Figure 1, où $Q^S$ est une fonction croissante et $Q^D$ une fonction décroissante, il y a au plus un prix d’équilibre. Après avoir trouvé le prix d’équilibre en résolvant cette équation, on peut trouver la quantité d’équilibre en substituant le prix d’équilibre dans l’équation de l’offre ou dans celle de la demande. Dans la Figure 1, le prix d’équilibre est 2 € et la quantité correspondante est 5 000 pains.

Exemple

Supposez que les fonctions de demande et d’offre du marché soient toutes deux linéaires :

$$Q^D(P)=a-bP, \quad Q^S(P)=c+dP$$

où $a,\ b,\ c,\ d$ sont des constantes. Nous supposons que $b \gt 0$ et $d \gt 0$, c’est donc un exemple du cas standard où la demande est décroissante et l’offre est croissante. Pour garantir qu’il y ait de la demande pour le bien quand le prix est assez bas, la condition $a \gt 0$ est nécessaire. Nous supposons aussi que $a \gt c$. (Si $a \leq c$, l’offre est plus grande que la demande pour tout prix positif. En affirmant ci-dessus qu’il y avait « au plus » un prix d’équilibre, nous avons inclus la possibilité qu’il n’existe pas de prix d’équilibre.)

Le prix d’équilibre $P^*$ est solution de l’équation :

$$a-bP=c+dP$$

En résolvant cette équation, on obtient :

$$P^*=\frac{a-c}{b+d}$$

et la quantité $Q^*$ demandée et offerte à l’équilibre est donnée par :

$$Q^*= a-bP^* = \frac{ad+bc}{b+d}$$

$Q^*$ est positive si et seulement si $ad+bc\gt0$. Si cette condition n’est pas vérifiée, il n’y a pas d’équilibre de marché dans lequel une quantité positive du bien est échangée.

Pour en savoir plus : Section 1.2 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.