Leibniz 8.6.1 Déplacements de la demande et de l’offre

Le prix et la quantité à l’équilibre concurrentiel se trouvent au point où les courbes d’offre et de demande se croisent. Si un choc déplace l’une des courbes, le prix et la quantité d’équilibre changent tous les deux. Dans ce supplément Leibniz nous montrons comment modéliser mathématiquement les effets d’un choc d’offre ou de demande.

Pour trouver le prix et la quantité d’équilibre concurrentiel sur le marché, il faut résoudre un système de deux équations — la courbe de demande $Q=Q^D(P)$ et la courbe d’offre $Q=Q^S(P)$ — pour $P$ et $Q$. À l’équilibre concurrentiel, le prix égalise demande et offre :

$$Q^D(P)=Q^S(P).$$

Comme nous l’avons vu dans le supplément Leibniz 8.4.2, si l’on connaît les fonctions de demande et d’offre, on peut trouver le prix d’équilibre en résolvant cette équation, et par conséquent trouver la quantité d’équilibre. Mais que se passe-t-il quand l’une de ces fonctions change ?

Reprenez la situation analysée dans le Leibniz 8.4.2, d’un marché sur lequel les fonctions d’offre et de demande sont toutes deux linéaires :

$$Q^D(P)=a-bP, \quad Q^S(P)=c+dP$$

où $a, b, c, d$ sont des constantes. Supposez comme avant que $a$, $b$ et $d$ soient toutes positives, garantissant que la courbe de demande soit décroissante et la courbe d’offre croissante ; par conséquent il y a au plus un prix d’équilibre. À condition que $a \gt c$ et $ac + bd \gt 0$, nous avons montré précédemment qu’il existe un prix d’équilibre positif $P^*$ et une quantité d’équilibre positive $Q^*$, donnés par :

$$P^* =\frac{a-c}{b+d}, \quad Q^* = a-bP^* = \frac{ad+bc}{b+d}.$$

Supposez qu’il y ait un choc de demande positif sur ce marché. La quantité demandée est maintenant plus élevée à tout prix donné. Nous pouvons modéliser le choc de demande comme une variation $\Delta a$ du paramètre $a$. La nouvelle courbe de demande est $Q =a +\Delta a - bP$, où $\Delta a \gt 0$ correspond à un choc positif —$\Delta a \lt0$ impliquerait un choc négatif, c’est-à-dire une baisse de la quantité demandée pour tout prix.

Pour trouver le nouveau prix et la nouvelle quantité d’équilibre nous pouvons résoudre à nouveau les équations pour $P^*$ et $Q^*$ en utilisant la nouvelle courbe de demande. Il est cependant plus rapide et plus simple de se concentrer sur les solutions de $P^*$ et de $Q^*$ ci-dessus et de déterminer la manière dont elles changent quand $a$ change :

$$\Delta P^* =\frac{\Delta a}{b+d}, \quad \Delta Q^*= \frac{d\Delta a}{b+d}.$$

Si vous n’êtes pas sûr(e) de comprendre d’où viennent ces résultats, vous pouvez les obtenir en utilisant une étape intermédiaire. Par exemple, la variation de $P^*$ est donnée par :

$$\Delta P^*=\frac{a+\Delta a-c}{b+d}-\frac{a-c}{b+d}=\frac{\Delta a}{b+d}.$$

En utilisant les expressions de $\Delta P^*$ et $\Delta Q^*$, on voit tout de suite qu’une augmentation de la demande ($\Delta a \gt 0$) augmente à la fois le prix d’équilibre et la quantité d’équilibre. Remarquez que si la quantité demandée pour tout prix augmente d’une unité ($\Delta a = 1$) alors l’augmentation de la quantité de demande et d’offre à l’équilibre est $d/(b+d)$, qui est positive mais inférieure à $1$. Par conséquent, l’augmentation de la demande implique que les consommateurs achètent plus, mais elle augmente aussi le prix, et les consommateurs achètent moins que ce qu’ils auraient acheté sans le changement du prix.

Le choc de demande que nous avons analysé ici est assez similaire à l’exemple de l’augmentation de la demande de livres illustré par la Figure 8.11 du texte, reproduite ci-dessus et nommée Figure 1. Les fonctions d’offre et de demande de livres sont linéaires et le graphique montre que si le nombre de livres augmente pour tout prix donné, la courbe de demande se déplace vers la droite et le prix et la quantité d’équilibre augmentent tous les deux. La seule différence est qu’une variation $\Delta a$ du paramètre $a$ provoque un déplacement parallèle de la courbe de demande, tandis que dans la Figure 1, la pente change aussi.

Dans le texte, nous avons aussi traité l’exemple d’un choc d’offre positif : une amélioration technologique qui permettait aux boulangeries de produire plus à moindre prix. Nous avons illustré cet exemple par la Figure 8.12, reproduite ci-dessus en tant que Figure 2. (Les courbes d’offre et de demande dans ce graphique ne sont pas linéaires, mais le principe est le même). Quand le coût marginal de faire du pain baisse, la courbe d’offre des boulangeries se déplace vers le bas et le nouvel équilibre de marché est au point B.

Un tel choc d’offre signifie que les boulangeries sont disposées à offrir plus de pains pour tout prix donné. Il peut être représenté dans notre exemple linéaire par une variation $\Delta c \gt 0$ du paramètre $c$. (À nouveau, $\Delta c \lt 0$ impliquerait que les entreprises offrent moins de pains pour tout prix.) L’effet sur le prix et la quantité d’équilibre d’une telle variation est comme suit :

$$\Delta P^* = - \frac{\Delta c}{b+d}, \quad \Delta Q^*= \frac{b\Delta c}{b+d}.$$

(Comme avant, écrivez les étapes intermédiaires si vous n’êtes pas sûr(e) de comprendre d’où viennent ces résultats.)

Dans ce cas nous pouvons conclure que, puisque $\Delta c\gt0$, l’effet du choc est d’augmenter la quantité et de réduire le prix — comme vous pouvez le voir sur la Figure 2.

Le cas non-linéaire

Si les courbes de demande et d’offre sont non-linéaires, il peut être difficile de trouver une solution explicite du prix et de la quantité d’équilibre. Il est tout de même possible de modéliser l’effet d’un choc qui déplace l’une des courbes et de déterminer comment cela affecte l’équilibre. Nous avons fait cela graphiquement dans le texte avec l’exemple du marché du pain. Nous faisons ici la même chose, mais mathématiquement.

Nous écrivons la courbe de demande de pains comme suit : $Q=Q^D(P,a)$. La quantité demandée diminue avec le prix $P$, comme avant ; mais elle dépend aussi d’un paramètre $a$, qui reflète les préférences des consommateurs. Une valeur élevée de $a$ représente une situation dans laquelle les consommateurs aiment beaucoup le pain, et en achètent donc une quantité élevée pour tous les prix. Quand $a$ est faible, moins de pains sont demandés pour chaque prix. L’effet de $P$ et de $a$ sur la demande peut être décrit à partir des dérivées partielles :

$$\frac{\partial Q^D}{\partial P} \lt 0; \quad \frac{\partial Q^D}{\partial a} \gt 0.$$

Un choc de demande positif peut alors être représenté comme une hausse du paramètre $a$. Cela a l’effet d’augmenter la quantité demandée pour tous les prix. Quand la courbe de demande est tracée dans l’espace $(Q,P)$, comme d’habitude, elle est tracée pour une valeur fixe de $a$. Une hausse de $a$ déplace la courbe de demande vers la droite. De manière similaire, une baisse de $a$ représente un choc de demande négatif et déplace la courbe vers la gauche.

De la même manière, nous écrivons la courbe de demande de pains comme $Q=Q^S(P,c)$, où le paramètre $c$ est introduit afin de modéliser les chocs d’offre. On peut considérer que $c$ représente la technologie. Une hausse de $c$ correspond à une amélioration technologique qui diminue le coût marginal de faire du pain et amène les boulangeries à offrir plus de pains quel que soit le prix. En termes de dérivées partielles :

$$\frac{\partial Q^S}{\partial P} \gt 0; \quad \frac{\partial Q^S}{\partial c} \gt 0.$$

Une amélioration de la technologie est modélisée par une hausse de $c$, qui déplace la courbe d’offre vers la droite. C’est le cas illustré par la Figure 2.

Pour tous $a$ et $c$ donnés, la courbe de demande est décroissante et la courbe d’offre est croissante dans le plan $(Q,P)$. Par conséquent il y a au plus un prix d’équilibre $P^*$ et une quantité d’équilibre $Q^*$ correspondante. Cependant, si $a$ et $c$ changent, $P^*$ et $Q^*$ changent aussi. $P^*$ et $Q^*$ dépendent donc de $a$ et de $c$, et nous pouvons exprimer cela en les écrivant comme des fonctions :

$$P^* = F(a,\ c), \quad Q^* = G(a,\ c).$$

Nous voulons savoir comment $P^*$ et $Q^*$ changent quand $a$ et $c$ changent. En d’autres mots, nous voulons connaître les signes des dérivées partielles de $P^*$ et $Q^*$ par rapport à $a$ et $c$. Afin de les trouver, nous utilisons la technique de dérivation implicite. Nous allons commencer par les dérivées partielles par rapport à $a$. Elles nous donneront l’effet d’un choc de demande sur l’équilibre.

Le prix d’équilibre $P^*$ résout l’équation d’égalisation de la demande et de l’offre du marché :

$$Q^D(P^* ,\ a)=Q^S(P^*,\ c).$$

Nous allons dériver les deux termes de cette équation par rapport à $a$, en gardant en tête que $P^*$ est une fonction de $a$ (c’est-à-dire, $P^* = F(a,c)$). Nous obtenons :

$$\frac{\partial Q^D}{\partial P} \frac{\partial P^*}{\partial a}+ \frac{\partial Q^D}{\partial a} =\frac{\partial Q^S}{\partial P} \frac{\partial P^*}{\partial a}.$$

Cette équation peut être réécrite en exprimant $\partial P^*/\partial a$ en fonction des autres dérivées partielles :

$$\frac{\partial P^*}{\partial a} =\frac{\frac{\partial Q^D}{\partial a}} {\frac{\partial Q^S}{\partial P}-\frac {\partial Q^D}{\partial P} }.$$

Le dénominateur de cette fraction est positif, parce que nous savons que $\partial Q^S/\partial P\gt0$ et $\partial Q^D/\partial P\lt0$. Le numérateur est positif aussi, par la spécification de la fonction de demande que nous avons faite ci-dessus. Nous pouvons en conclure que $\partial P^*/\partial a\gt0$. Par conséquent, un choc de demande positif (une hausse de $a$) entraîne une hausse du prix d’équilibre.

Pour trouver $\partial Q^*/\partial a$, nous pouvons utiliser l’équation de $Q^*$ :

$$Q^* =Q^S(P^*,\ c),$$

En gardant toujours en tête que $P^*$ est une fonction de $a$. En dérivant par rapport à $a$ :

$$\frac{\partial Q^* }{\partial a} =\frac{\partial Q^S}{\partial P^* } \frac{\partial P^*}{\partial a}.$$

À partir de cette expression, comme $\partial Q^S/\partial P*\gt0$ et que nous venons de montrer que $\partial P^*/\partial a\gt0$, nous pouvons déduire que $\partial Q^*/\partial a\gt0$ aussi. Par conséquent, un choc de demande positif (une hausse de $a$) entraîne une hausse à la fois du prix d’équilibre et de la quantité d’équilibre. Un choc de demande négatif a l’effet opposé.

Afin de trouver l’effet d’un choc d’offre, il faut trouver les dérivées partielles de $P^*$ et de $Q^*$ par rapport à $c$. On peut le faire de la même manière que ci-dessus. On commence par dériver l’équation d’équilibre du marché par rapport à $c$ pour obtenir une expression de $\partial P^*/\partial c$ dont il est possible de déterminer le signe. Ensuite on peut utiliser soit l’équation de la courbe d’offre, soit celle de la courbe de demande (dans ce cas il est plus facile d’utiliser celle de la courbe de demande) pour déterminer le signe de $\partial P^*/\partial c$. Si vous faites cela correctement, vous devriez trouver que $\partial P^*/\partial c\lt0$ et $\partial Q^*/\partial c\gt0$, donc qu’un choc d’offre positif augmente la quantité et baisse le prix.

Cette analyse a démontré que qualitativement, les effets des chocs de demande et d’offre sur le prix et la quantité d’équilibre sont identiques à ceux que nous avons déterminés graphiquement dans le texte, quelles que soient les formes précises des fonctions d’offre et de demande — à condition qu’elles aient les propriétés classiques, c’est-à-dire que la courbe de demande soit décroissante et la courbe d’offre croissante.

Pour en savoir plus : Section 15.2 et les deux premiers paragraphes de la Section 15.3 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.