Leibniz 4.4.1 Preferências altruístas: descobrindo a distribuição ótima

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

Anil ganhou na loteria e precisa decidir o que fazer com suas 10.000 rupias. Ele tem preferências altruístas: embora esteja feliz em receber o dinheiro, também se preocupa com seu vizinho, Bala, que não ganhou nada. Podemos usar a técnica de otimização com restrição para elaborar um modelo de sua decisão.

No Leibniz 3.5.1, usamos otimização com restrição para resolver o problema de Alexei: determinar as horas livres diárias $t$ e a nota nas provas $y$ para maximizar sua utilidade $U(t,\ y)$ sujeita ao que é factível dada sua função de produção de notas. O problema de Alexei pode ser expresso como:

$$\text{escolha } t \text{ e } y \text{ para maximizar } U(t,\ y) \text{ sujeito à restrição } y=f(24− t)$$

onde $f$ é a função de produção.

No ponto ótimo de Alexei, a taxa à qual ele pode trocar horas de tempo livre por pontos na nota é igual à taxa com que ele está disposto a trocá-los. Em outras palavras, a taxa marginal de transformação (TMT) é igual à taxa marginal de substituição (TMS). Isso foi o que chamamos de condição de otimização de primeira ordem de Alexei.

O problema de Anil pode ser escrito de forma bem semelhante. Ele também quer maximizar sua utilidade, o que depende de dois bens, dinheiro para ele mesmo e dinheiro para Bala. E Anil enfrenta uma restrição: tem apenas 10.000 rupias para dividir entre si e seu vizinho. Se representarmos o dinheiro de Anil por $x$, o de Bala por $y$ e a função de utilidade de Anil por $U(x,\ y)$, então o problema de Anil será:

$$\text{escolha } x \text{ e } y \text{ para maximizar }U(x,\ y) \text{ sujeito à restrição } x + y = 10,000$$

A equação $x + y = 10,000$ descreve a fronteira de possibilidades ao longo da qual Anil pode dividir seu prêmio de loteria se nada do valor for perdido ou tributado.

Já vimos dois métodos para resolver os problemas de otimização com restrição (veja Leibniz 3.5.1). Um é o método de substituição, pelo qual começamos substituindo as restrições na função objetiva. O outro método, que usamos aqui, é aplicar a condição de primeira ordem:

$$\text{TMT} = \text{TMS}$$

Você pode ver isso na Figura 4.5 do texto, reproduzida como Figura 1: a alocação ótima $B$ fica no ponto de tangência da curva de indiferença de Anil com a restrição (fronteira de possibilidades).

Se conhecêssemos as preferências de Anil (sua função de utilidade), poderíamos resolver o problema de otimização com restrição para determinar o ponto $B$ com precisão. Vamos supor que ele tenha uma função de utilidade Cobb-Douglas como a de Alexei no Leibniz 3.5.1:

$$U(x,\ y) = x^\alpha y^\beta$$

onde $\alpha$ e $\beta$ são constantes positivas. As utilidades marginais de Anil são encontradas, como sempre, por diferenciação parcial:

$$\frac{\partial U}{\partial x} = \alpha x^{\alpha −1} y^\beta = \frac{\alpha U}{x}, \quad \frac{\partial U}{\partial y} = \beta x^\alpha y^{\beta −1} = \frac{\beta U}{y}$$

A taxa marginal de substituição de Anil (o valor absoluto da inclinação da curva de indiferença) é a razão entre as utilidades marginais:

$$\text{TMS }= \left.\frac{\partial U}{\partial x}\middle/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. = \left. \frac{\alpha U}{x} \middle/ \frac{\beta U}{y}\right. = \frac{\alpha y}{\beta x}$$

A taxa marginal de transformação é o valor absoluto da inclinação da fronteira de possibilidades, $x + y = 10.000$. Ao escrevê-la como $y = 10,000 − x$, vemos que a inclinação é $−1$, então:

$$\text{TMT} = 1$$

Em outras palavras, Anil pode converter seu dinheiro em dinheiro para Bala a uma taxa de um para um. Ao igualar TMS e TMT, temos a condição de primeira ordem para encontrar a escolha ótima de Anil:

$$\alpha y = \beta x$$

No plano $xy$, existem inúmeros pontos que satisfazem essa condição — todos os pontos em que a inclinação da curva de indiferença é $−1$, localizados em uma linha reta ao longo da origem. Porém queremos um ponto que esteja na fronteira de possibilidades. Então, o ponto ideal de Anil é encontrado resolvendo essas duas equações simultaneamente:

$$x+y=10,000, \quad \beta x − \alpha y = 0$$

Você pode verificar (por exemplo, usando a primeira equação para substituir por $y$ na segunda), cuja solução é:

$$x = \frac{10,000 \, \alpha}{\alpha +\beta}, \quad y = \frac{10,000 \, \beta}{\alpha +\beta}$$

Por exemplo, se as preferências de Anil são tais que $\alpha =0,7$ e $\beta=0,3$, essas expressões são reduzidas para $x =7.000$ e $y=3.000$ como no texto: Anil dá 3.000 rupias para seu vizinho, Bala, e fica com 7.000 para si.

Podemos escrever a solução do problema de Anil em termos das quotas do prêmio de loteria que devem ser destinadas a Anil e a Bala, respectivamente:

$$\frac{x}{10,000} = \frac{\alpha}{\alpha +\beta}, \quad \frac{y}{10,000} = \frac{\beta}{\alpha +\beta}$$

Uma checagem rápida da expressão algébrica acima deve convencê-lo de que as quotas ótimas permanecem $\alpha/(\alpha +\beta)$ e $\beta/(\alpha +\beta)$ se $10,000$ forem substituídas por outro número positivo: as proporções do prêmio alocado para Anil e Bala independem do seu tamanho. Observe que essa resposta nos permite fazer algo que não fizemos até agora: uma interpretação dos parâmetros $\alpha$ e $\beta$ da função de utilidade de Anil. Quanto mais alto for $\alpha$ em relação a $\beta$, mais Anil se importará com seu próprio dinheiro em relação ao de Bala.

Outra propriedade a observar aqui é que apenas a razão de $\alpha$ para $\beta$ é relevante para a escolha ideal de Anil. Ele faria a mesma escolha se $\alpha =70$ e $\beta=30$ pois as curvas de indiferença teriam exatamente o mesmo formato, embora a escala na qual a utilidade é medida fosse diferente.

Essas características da solução são uma consequência de Anil ter uma função de utilidade Cobb-Douglas. Com um tipo diferente de função de utilidade, ele poderia dividir o dinheiro em proporções diferentes dependendo do tamanho do prêmio.

Leia mais: Seções 15.1, 17.1, 17.3 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.