Leibniz 6.7.1 Lucro, salários e esforço

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

Na interação entre Maria e seu empregador, esse escolhe o salário e sua funcionária responde escolhendo com quanto afinco irá trabalhar. Neste Leibniz, analisamos matematicamente a decisão sobre a determinação do salário feita pelo empregador.

Como o empregador de Maria deveria determinar o salário? Primeiro, vamos mostrar que, para maximizar o lucro, ele deveria escolher o salário que minimiza o custo por unidade de esforço, levando em consideração como Maria irá reagir.

Se a firma emprega Maria por $H$ horas por semana e seu esforço é de $e$, ela faz $N$ horas de trabalho produtivo, onde $N=eH$. Suponha que a função de produção do empregador seja $f(N)$, e o produto possa ser vendido a um preço de $p$. Assim, os lucros do empregador, que simbolizamos pela letra grega “pi” maiúscula, $\Pi$, pode ser escrita como:

$$\Pi=pf(eH)−wH$$

O empregador está livre para escolher o salário bem como o número de horas de trabalho de Maria. Maria escolherá seu próprio esforço. Sendo assim, o empregador gostaria de escolher $w$ e $H$ para maximizar $\Pi$, sabendo que, qualquer que seja o salário escolhido, Maria responderá escolhendo:

$$e = E(w)$$

Pensando sobre esse problema, não fica claro que o empregador deveria escolher o salário que minimiza o custo do esforço, $w/e$ — embora tenhamos argumentado no texto que ele deveria fazer isso. Para verificá-lo matematicamente, é útil reescrever os lucros em termos de $w$ e $N$, ao invés de $w$ e $H$ (lembre-se que $N$ é o fator de produção). Substituir $H=N/e$ nos dá:

$$\Pi=pf(N)−\frac{w}{e}N \quad\mbox{onde } e=E(w)$$

Agora, podemos ver que o lucro depende do número de unidades de trabalho, $N$, e do custo por unidade de trabalho (ou esforço), $w/e$. Nessa expressão, fica claro que, para maximizar o lucro, o empregador deveria estabelecer o salário de modo que o custo $w/e$ seja o menor possível.

Escolhendo o salário

Mostramos que o empregador deve escolher o salário para minimizar os custos por unidade de esforço, $w/e$, levando em consideração que Maria escolherá $e=E(w)$. Pela regra do quociente:

$$\frac{d}{dw} \left(\frac{w}{E(w)}\right) = \frac{E(w)−wE'(w)}{E(w)^2}$$

Obtemos a condição de primeira ordem para a minimização dos custos ao estabelecer que esta expressão é igual a zero. Portanto, o salário de minimização de custos $w^*$ satisfaz a equação:

$$E'(w^*)= E(w^*)/w^*$$

Na notação alternativa de derivadas, a equação pode ser escrita como:

$$\frac{de}{dw} = \frac{e}{w}$$

Essa condição para o salário está ilustrada na Figura 1, que reproduz a Figura 6.6 do texto. As linhas retas são as linhas isocusto de esforço, que têm inclinação $e/w$. No ponto A, a equação acima é satisfeita: a inclinação da linha isocusto, $e/w$, é igual à inclinação da curva de melhor resposta do trabalhador, $de/dw$. Para a curva de melhor resposta exibida no diagrama, $w^*=12$, o nível de esforço correspondente é $E(w^*)$ = 0,5.

No diagrama, as linhas isocusto mais inclinadas correspondem a menores custos por unidade de esforço (maior $e/w$, menor $w/e$). Podemos ver então que o ponto A é o ponto de minimização de custo na curva de melhor resposta. Para verificar matematicamente que o salário que satisfaz a condição de primeira ordem, $w^*$, corresponde a um ponto de mínimo da função $w/E(w)$, devemos utilizar a segunda derivada e verificar se é positiva quando $w=w^*$. Se você fizer isso, descobrirá que o formato côncavo da curva de melhor resposta, expresso matematicamente pela condição $E’’(w)\lt0$, garante que $w^*$ minimize os custos.

Escolhendo as horas de trabalho

Tendo determinado o salário de maximização dos lucros e de minimização de custos, $w^*$, o empregador pode decidir quantas unidades de esforço, $N$, são necessárias para maximizar os lucros. Se o salário definido é igual a $w^*$, os lucros são:

$$\Pi=pf(N)−\frac{w^*}{E(w^*)}N$$

Diferenciar em relação a $N$ e igualar a derivada a zero nos dá uma equação para o fator de produção que maximiza os lucros $N^*$:

$$pf'(N^*) = \frac{w^*}{E(w^*)}$$

Essa equação tem uma interpretação econômica. $f’(N)$ é o produto marginal de uma unidade a mais de esforço no trabalho, e então $pf’(N)$ é a receita marginal que o empregador obtém de uma unidade de esforço de trabalho. O empregador maximiza os lucros escolhendo um valor de $N$ tal que a receita marginal seja igual ao custo marginal de uma unidade a mais de esforço, $w^*/E(w^*)$.

Por fim, tendo encontrado o número ótimo de unidades de esforço, $N^*$, e sabendo que Maria escolherá um nível de esforço de $E(w^*)$, o empregador pode encontrar o número de horas em que deve empregá-la a partir da relação $H=N/e$.

Exemplo

Suponha que o salário de reserva de Maria seja $w_r$ (uma constante positiva) e sua função de melhor resposta seja:

$$E(w) = k(w−w_r)^\alpha \quad (w\gt w_r)$$

onde $k$ e $\alpha$ também são constantes positivas, com $\alpha \lt1$. Logo, a condição de primeira ordem para o salário de maximização de lucro, $E'(w^*)= E(w^*)/w^*$, é:

$$\alpha k(w^* −w_r)^{\alpha−1} = k(w^*−w_r)^\alpha /w^*$$

Dividindo toda a expressão pelo lado direito nos dá $\alpha w^*/(w^* − w_r) =1$, e portanto:

$$w^* = \frac{w_r}{1 − \alpha}$$

Observe que $w^*$ depende de $w_r$ e de $\alpha$ mas não de $k$. Os números na Figura 1 correspondem ao caso em que $w_r =6$, $\alpha=0,5$ and $k = 0,5/\sqrt{6}$.

O empregador estabelecerá que $w^* = w_r/(1 − \alpha)$, e Maria escolherá seu nível de esforço como resposta:

$$E(w^*) = k \left(\frac{\alpha w_r}{1 − \alpha}\right)^\alpha$$

Leia mais: Seções 7.1 e 8.1 de Malcolm Pemberton e Nicholaus Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.